Egyenlet modullal az értéktartomány

Nagyon gyakran az egyenletek a modulusz jel meglehetősen bonyolult szerkezetek, amelyek rendkívül nehéz lenne megnyitni, majd oldja meg a „egyenesen”. Ilyen esetekben számos módszer létezik, és megjegyzéseket, hogy jelentősen felgyorsítja a számítás.

Az egyik ilyen technika a számla a mező modulus (a tanár felhívta a döntést a következmények). Lényege lehet összefoglalni egy egyszerű mondat: „az összeg nem negatív egész nulla akkor, ha mindegyik szám nullával egyenlő.”

Ma továbbra is tanulmányozza a szerkezetet, amely a jele a funkció modul és átmennek a bonyolultabb szerkezetek, amikor ihdva vagy egyenlet maga is tartalmaz egy egyedi funkcióval.

Egy kis elmélet

Először is idézzük a meghatározása a modul: modulszám $ x $ hívják, vagy magát a számot (feltéve, hogy az nem negatív) vagy a mínusz ezt a számot, ha ez negatív:

Ez a rekord egy algebrai meghatározására, mert csak algebrai terminológia és nem húzott geometria. És ez az a meghatározás lehetővé teszi számunkra, hogy a következő tény: a modul a szám mindig nem negatív:

\ [\ Left | x \ right | \ ge 0 \]

Éppen ezért néha is nevezik abszolút értéke, azaz közötti távolság 0 és ez a szám a számegyenesen. És ez a tény, hogy a funkció modul mindig nem negatív szám, lehetővé teszi, hogy megoldja egy osztály a problémákat, amelyek egyébként mer nagyon problematikus.

Mi valós problémák megoldására

1. példa №

Hogy megoldja ezt a kifejezést, nézzük először emlékszik, hogyan kell megoldani egyszerű design a modul, vagyis az egyenlet formájában $ \ left | f \ right | = g $.

Ez megoldható ez elég egyszerű. Két esetet figyelembe venni: az első esetben, $ f $ nem negatív - ebben az esetben a függvény modult eltávolítják, és kiderül, változtatás nélkül, hogy $ f $ egyenlő $ g $. A második esetben $ f $ negatív - ebben az esetben a modul megnyitja a „mínusz” jel, mint már tudjuk a definícióját. Írunk egy sor rendszerek:

De ez csak akkor működik, azzal a feltétellel, hogy a funkció modul egyetlen kifejezés, és ma már kettő. Mi a teendő ilyen helyzetben?

Nézzük figyelmét, hogy a kifejezés fordul elő a két új modult, amely érték 0. Másrészt, tudjuk írni a következő:

Ebben az esetben az összeg a fenti két terméket is kapnak egy bizonyos számú (nevezzük $ k $), amely nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Ebben az esetben, akkor van szükség, hogy ez egy szigorúan egyenlő 0. Ez azt jelenti, hogy elégedettek vagyunk csak egy lehetőség, ha egyes modulok egyenlő 0, azaz, felírhatjuk:

Más szóval, az összeget a két szám, amelyek mindegyike nem kevesebb, mint 0, összesen nulla csak abban az esetben, ha mindegyik értéke 0, azaz a követelményeknek kell megfelelnie egyszerre. Ezért írja a rendszer:

funkció modul egyenlő 0, ha podmodulnoe expresszió értéke 0, azaz:

Oldjuk meg az egyes kifejezések külön kapjuk. Mi megoldjuk az első:

\ [X \ bal (1-x \ right) \ bal (1 + x \ right) = 0 \]

Ha három ilyen értékek nullára van állítva identitás.

Most mi kell érteni a második kifejezés. Mi megoldjuk a következő képlet segítségével Térség:

\ [\ Bal (x + 2 \ right) \ left (x-1 \ right) = 0 \]

Most emlékszem, hogy oldja meg a rendszer egyenleteket, azaz Szükségünk van az első és a második szett kiválasztott gyökerek tartozó minden ilyen készlet. Nyilvánvaló, hogy ez csak egy gyökér - $ x = 1 $.

Teljes megoldás az első kifejezés az egyedi gyökere $ x = 1 $.

Mint látható, ez a döntés kiderült, hogy sokkal egyszerűbb, mint a hagyományos megközelítés. Elegendő egyszerűen vegye figyelembe, hogy az összeget a két nem negatív egész értéke csak akkor 0, ha minden ilyen számok 0.

2. példa №

Azt viszont, hogy a második design:

Első pillantásra azt mondhatjuk, hogy ez a szerkezet egy egyszerű egyenlet. És szigorúan véve, úgy határoztak, valamint a fent leírt képlet, azaz az átmenet a kifejezést funkciómodullal aggregált a két rendszer. Mi azonban összekeverni a hatalmi funkció - a mértéke túl nagy. Ezért jegyezzük meg, hogy a függvény $ f \ left (x \ right) ^ => $ nemcsak egyenletes, de még mindig nem negatív az egész valós tengelyen. Ez azt jelenti, hogy a $ -> $ mindig negatív vagy egyenlő 0-ra azonban a másik oldalon a egyenlőségjel van a funkció modul - és ez mindig nem negatív. Ez azt jelenti, hogy a bal oldali nagyobb vagy egyenlő nullával, és a jobb oldalon - kisebb vagy egyenlő. És mi van szükség, hogy megtudja, ha ezek az értékek megegyeznek egymással. Nyilvánvaló, hogy az ilyen lehet őket csak akkor, ha mindegyik értéke 0, mert ellenkező esetben fekszenek ellentétes oldalán az elválasztó 0; $ \ Left | x-2 \ right | $ továbbra is tér el a jobb oldalon, és a $ -> $ - balra. Ezért a kifejezést lehet újraírni az alábbiak szerint:

Nézzük megoldani ezeket a terveket:

Megoldjuk minden ilyen kifejezések:

Látjuk, hogy a gyökér kell lennie mind az egyenlő 2-vel, 0. lehetetlen, ezért a döntés ez a kifejezés az üres halmaz. Ne zavarjanak meg ezeket a válaszokat a problémák megoldására a modulokat. Mint minden más funkció, korlátozhatja a domain definíció vagy jelentését a feladatokat a folyamat megoldása komplex kifejezések modulok funkció lehet, hogy ezek a megoldások nem léteznek.

Főbb pontok

1. Az összeg két nem-negatív számok akkor nulla, ha minden ilyen szám nulla. Ennek eredményeként az egyenlet, ami önmagában nem triviális, akkor van osztva rendszer két különböző egyenletek, amelyek mindegyike megoldható sokkal könnyebb.
2. Az a tény, hogy az egység maga egy nem-negatív érték, lehet használni más módon, például, ha egyrészt kell funkció modul (ezen az oldalán nem negatív), és a másik oldalon - olyan funkció, amely kisebb, mint nulla, vagy egyenlő nullával. Ebben az esetben az összes egyenletet csökkenti a rendszer két egyenlet, amelyek mindegyike könnyen megoldható.

Példaként, a második vyradeniem lehet csökkenteni az egyenlet az első fajta az alábbiak szerint:

Ismét azt látjuk, az összeg a két funkciót, amelyek mindegyike nem-negatív. Ne feledje, ez a technika, ez nagyon hatásos, ha foglalkozik minden olyan funkciót, amelynek ismert, hogy ezek túl sok negatív.

• Ingyenes Felkészülés a vizsgára 7 egyszerű, de nagyon hasznos tanulságokat + házi feladat
•