Integrálok trigonometrikus függvények
Ebben a leckében megnézzük integrálja trigonometrikus függvények, azaz töltés integrálok vagyunk szinusz, koszinusz, tangens és kotangens különböző kombinációkban. Minden példák részletesen tárgyaljuk, elérhető és érthető még a teáskanna.
A sikeres vizsgálat integrálok trigonometrikus függvények meg kell navigálni az egyszerű integrálás és a saját néhány technikát az integráció. lehetséges előadások határozatlan integrál ismerik ezeket az anyagokat. Példák a döntéshozatal és módszer helyett a változó a határozatlan integrál.
És most van szükség: egy asztal integrálok. Hivatkozási táblázatban származékok és trigonometrikus képletek. Minden kézikönyv megtalálható a matematikai képleteket és táblázatokat. Nyomtatás javasoljuk, hogy minden. Különös tekintettel a trigonometrikus képletek, akkor kell lennie a szemem előtt - jelentős mértékben csökkent anélkül, hogy ez a teljesítmény.
De először, hogy mit integrálok ebben a cikkben nem. Itt nem lesz semmiféle integrálok - koszinusz, szinusz, szorozva bármelyik polinom (kevesebb semmit a tangens vagy kotangensét). Az ilyen integrálok vannak integrálva, másrészről, hogy vizsgálja meg az eljárás, keresse fel a leckét Parciális integrálás. Példák Is, hogy itt nem létezik integrálás „íveket.” - arc tg, arkusz szinusz, stb Azt is gyakran integrálják az alkatrészeket.
Megtalálni a integrálok trigonometrikus függvények segítségével több módszer:
Használata trigonometrikus képletek
Süllyesztése mértékben integrál függvény (speciális igény esetén 1)
helyett a módszer változó
Univerzális trigonometrikus helyettesítés (speciális igény esetén 3)
Ennek része a leckét, megpróbálom részletesen elemzik mindezen módszerek és példák tipikus megoldások integrálok. Meg kell jegyezni, hogy a felosztás bekezdések nagyon feltételes, mert gyakran a fenti szabályok használható egyszerre.
Használata trigonometrikus képletek
Keresse meg a határozatlan integrál.
(1) Azt látjuk, hogy az integrandus a termék a két funkciót. Sajnos, nincs kényelmes integrálszámítás képlet integrálása a termék: így kénytelenek a különböző trükköket. Ebben az esetben mi megszakítani a megoldás ikonra, és kifejti, hogy használja a trigonometrikus formula. Ez a képlet teszi a termék mennyiségét.
(2) használata a határozatlan integrál linearitása - integrál összeg egyenlő a integrálok; konstans lehet (és kell) üzemen kívül az integrál jel.
!Utalás: trigonometrikus függvények, tudatában kell lennie, hogy:
Koszinusz - páros függvény, azaz mínusz eltűnik következmények nélkül. Ebben a példában:
Sinus - páratlan funkció - itt mínusz, épp ellenkezőleg - nem vész el, és kivették.
(3) a szerves jel, akkor a speciális funkciókat (nem csak a koszinuszok és egy komplex érv). Ez a legegyszerűbb komplex függvények, integrálok közülük sokkal kényelmesebb, hogy megtalálják a módszert társítása jele eltérés. Részletesebb adatok állnak rendelkezésre a recepción osztály csere módszer egy változót a határozatlan integrál.
(4) táblázat segítségével képlet, az egyetlen különbség, ahelyett, hogy „X” a mi összetett kifejezést.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Ez egy példa az önrendelkezésért, a teljes megoldás, és a válasz - a végén a leckét.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Classics a műfaj azok számára, akik fulladás a ranglistán. Mint azt bizonyára észrevették, a tábla nem szerves elválaszthatatlan az érintő és kotangensét, de mégis, ezek integrálok megtalálható.
(1) A trigonometrikus képletű
(2) összeadási műveletet alatt eltérés jel.
(3) A táblázatos integrál.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Ez egy példa az önrendelkezésért, a teljes megoldás, és a válasz - a végén a leckét.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Képzés is fokozatosan emelkedik =).
Első megoldás:
(1) A képlet
(2) Az általános trigonometrikus azonosság, amelyből az következik, hogy.
(3) Terminusonként osztani a számláló által a nevező.
(4) a tulajdonságok használatával a határozatlan integrál linearitás.
(5) Integráljon a táblázatban.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Ez egy példa az önrendelkezésért, a teljes megoldás, és a válasz - a végén a leckét.
Vannak még az integrál az érintő és kotangensét, amelyek magasabb fok. Az integrál az érintő a kocka tárgyalt az osztályban, hogyan kell számítani a területen síkidom? Integrálok az érintő (kotangensét) a negyedik és az ötödik fokozat kaphat a komplex integrálok oldalon.
Süllyesztés mértékét az integrandus
Ez a technika akkor működik, ha az integrandusok töltött szinusz és koszinusz páros hatáskörét. Ahhoz, hogy csökkenti a mértékét használat trigonometrikus képletek, és az utóbbi általános képletű a leggyakrabban használt az ellenkező irányba.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Elvileg itt semmi új, kivéve azt, hogy alkalmazza az (csökkenti a mértékét az integrandus). Felhívjuk figyelmét, hogy vágtam a döntést. A tapasztalat, megtalálja a szerves orálisan, időt takarít meg, és ez elég lehet a befejező a tervezési feladat. Ebben az esetben nem ajánlatos festeni, és általában egy darabból készült első orálisan eltarthat 1, majd - az.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Ez egy példa az önrendelkezésért, a teljes megoldás, és a válasz - a végén a leckét.
Taki ígért növekedésének mértéke:
Keresse meg a határozatlan integrál.
(1) Készítsük el a integrandusban a képlet alkalmazását.
(2) alkalmaznak Tulajdonképpen képlet.
(3) emeljük a nevező a téren, és egy állandó külső integrál jel. Lehetne csinálni egy kicsit másképp, de véleményem szerint ez sokkal kényelmesebb.
(4) használja a képlet
(5) A harmadik ciklus újra alacsonyabb fokú, de képletek.
(6) bekezdése hasonló kifejezések (itt osztottam Terminusonként és a matek).
(7) Az a tény, hogy az integrál azt linearitás szabály és eljárás összeadásával funkció jegyében az eltérés végre orális.
(8) A fésű választ.
! A határozatlan integrál gyakran a válasz felírható többféleképpen
A példában csak úgy a végső választ lehetne írni másképp -, hogy megnyitja a konzolok, és még csinálni, mielőtt integrálja a kifejezés, hogy teljesen elfogadható véget a következő példát:
Lehetséges, hogy ez a lehetőség még jobb, én csak magyarázta, ahogy megoldására használják). Itt van egy másik tipikus példája a self-help:
Keresse meg a határozatlan integrál.
Ez a példa megoldható két módon, és akkor kap két teljesen különböző válaszokat (vagy pontosabban, akkor nagyon más, és egyenértékűek egy matematikai szempontból). A legvalószínűbb, akkor nem fogja látni a legésszerűbb módja és gyötrelem a nyitó zárójel, a más trigonometrikus képletek. A leghatékonyabb megoldás a végén adjuk az óra.
Összegezve bekezdés, arra a következtetésre jutunk bármely egész típusú, és ahol - páros számok, megoldható csökkentésével az integrandus.
A gyakorlatban már találkozott a integrálok 8 és 10 fok, hogy megoldja őket borzalmas vérzéses, így csökkentve többször, így a hosszú, hosszú választ.
helyett a módszer változó
Amint azt a cikkben említett eljárás helyettesítő változót a határozatlan integrál. alapvető előfeltétele a csere módszer az a tény, hogy van némi funkciót és annak származéka a integrandust:
(A funkció nem feltétlenül működik)
Keresse meg a határozatlan integrál.
Utalunk az asztalhoz, és észre a általános képletű, azaz, egy funkciót, és annak származéka a mi integrandust. Ugyanakkor azt látjuk, hogy a differenciálódás a szinusz és koszinusz kölcsönösen egymásba átalakítjuk, és felmerül a kérdés: hogyan lehet végrehajtani a változást változó, és a címkézés - szinusz vagy koszinusz. A kérdés lehet megoldani egy művelt tét, ha teszünk a változás megfelelően, akkor semmi jó fog jönni.
Közös referenciapont: hasonló esetekben meg kell határozni a funkció, amely a nevezőben.
Megszakítása a határozatot, és végezze el a csere
A nevezőben rendben vagyunk, minden attól függ, most szükség van, hogy megtudja, mi lesz.
Ehhez találunk a különbség:
Vagy, ha a rövidebb:
Ebből az egyenlő arányban kifejezett szabályt számunkra megfelelő kifejezést:
Tehát:
Most már INTEGRAND csak attól függ a döntés, és továbbra is
Kész. Emlékeztetem Önöket, hogy a célja a csere -, hogy egyszerűsítse az integrandus, ebben az esetben, ez jött le, hogy az integráció a hatalom az asztal funkciót.
Nem véletlenül olyan aprólékosan festett példában ez történik azzal a céllal ismétlés és konszolidációja leckeanyag helyettesítő módszer változó a határozatlan integrál.
Most, két példát a független megoldások:
Keresse meg a határozatlan integrál.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Teljes körű megoldásokat és válaszokat a végén a leckét.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Itt ismét, a integrandus szinuszszűrők koszinusz (a függvény deriváltját), hanem már a termék, és van egy dilemma - mi jelöljük a szinusz vagy koszinusz?
Meg lehet próbálni, hogy végezzen a csere egy művelt tétet, és ha nem történik semmi, a jelölt más funkció, de van:
Közös referenciapont: az kell, hogy azonosítsa a funkció, amely képletesen szólva, a „kellemetlen helyzetbe.”
Úgy látjuk, hogy ebben a példában a hallgató koszinusza „szenvedés” a mértéke, és a szinusz - ingyenes, így ül magától.
Ezért, hogy a változás:
Ha valaki nehézségek változó csere algoritmus és megtalálni a különbség, meg kell, hogy menjen vissza az órát helyettesítő módszer változó a határozatlan integrál.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Elemzése az integrandus, amire szükség van, hogy kijelölje az?
Emlékezés az irányelveknek:
1) A funkció valószínűleg van a nevezőben;
2) Ez a funkció a „kellemetlen helyzetbe”.
By the way, az irányelvek a nem csak a trigonometrikus függvények.
A mindkét kritériumot (különösen a második) használható sine, éppen ezért javasolja helyett. Elvileg a csere végezhető már, de először jó lenne kitalálni, hogy mit kell csinálni? Először is, a „csipet off” egy koszinusz:
Fenntartjuk a mi „jövő” eltérés
A átnyúlnak a sinus bázikus trigonometrikus azonosságok:
Most csere:
Általános szabály: Ha az integrandus egy trigonometrikus függvények (szinusz vagy koszinusz) van egy páratlan fokú, akkor meg kell a páratlan fokú „harapás” egy funkció, és - hogy kijelölje egy másik funkció. Ez csak mintegy integrálok, ahol a szinusz és koszinusz.
Ebben a példában a páratlan fokú mi volt koszinusz, ezért otschipnuli mértékétől egy sinus és cosinus a kijelölt.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Sokkal megy = emelkedés).
Ez egy példa a független megoldásokat. Teljes körű megoldásokat és válaszokat a végén a leckét.
Univerzális trigonometrikus helyettesítés
Univerzális trigonometrikus helyettesítés - ez gyakran előfordul módszer helyett a változó. Ez lehet próbálni kell alkalmazni, ha a „nem tudom, mit kell tenni.” Valójában azonban van néhány iránymutatások alkalmazását. Tipikus integrálok, ahol alkalmazni szeretné egyetemes trigonometrikus helyettesítés, a következő integrálok: ,,,, stb
Keresse meg a határozatlan integrál.
Univerzális trigonometrikus helyettesítés ebben az esetben valósul meg, a következő módszerrel. Hogy a változás :. Nem használja a levelet, és a levél, ez nem valamiféle szabály, csak megint, annyira, hogy megoldja.
Itt sokkal kényelmesebb, hogy megtalálja az eltérés erre az egyenletből, I-hez:
Én lógott mindkét oldalán az ív érintőlegesen:
Cotanges és az érintési kiesnek:
A gyakorlatban nem lehet festeni annyira részletesen, hanem egyszerűen élvezni a kész eredmény:
! Expression csak akkor érvényes, ha a szinusz és koszinusz, egyszerűen „X” az integrál (amely fogunk beszélni) minden lesz egy kicsit más!
Amikor cseréli a szinuszok és koszinuszokat, mi alakítjuk át a következő frakciókat:
, , ezek a kapcsolatok alapja az ismert trigonometrikus képletek :,
Tehát Finish kialakítás lehet:
Rajzolj egy univerzális trigonometrikus helyettesítés:
(1) előállításához az eredeti szerves szubsztitúció: ,,.
(2) elvezethet a közös nevező.
(3) Megszabadulni négy lövés, miközben csökken. Nyilvánosságra zárójelben a nevezőben a számlálóban kettest vegye ki az integrál jel.
(4) A hajtás hasonló kifejezések a nevezőben.
(5) Az integrál megoldható kiosztása egy teljes négyzet. További részletes információkat ez a módszer megtalálható az osztályban integrációjának bizonyos frakciók. Bomlási egy készítmény befogadására a fent említett
(6) Válassza ki a tökéletes négyzet, és előkészíti az integráció az integrál.
(7) integráló által táblázatos képlet.
(8) A vezetékek vissza csere, emlékezve arra, hogy.
Tekintsük az integrál, mint például: nem, úgy döntünk, hogy nem fog =), de csak megérteni, hogyan kell elvégezni a csere.
Itt is végzett egy univerzális trigonometrikus helyettesítés :.
Megjegyzendő, hogy az argumentum egy érintő bytv felére csökkent. mint a szinusz és koszinusz. Formula, a status quo fenntartása, de a differenciál kissé eltérő (nem vagyok hiába közelmúltban mert festett részlet):
Az integrál megoldható csere stb Mindent pontosan ugyanaz, a különbség csak az eltérés ismét lesz egy kicsit más.
Keresse meg a határozatlan integrál.
Ez egy példa a független megoldásokat. Teljes körű megoldásokat és válaszokat a végén a leckét.
Segítségével egy univerzális trigonometrikus helyettesítés és integrál megoldott, mint ez:
Keresse meg a határozatlan integrál.
Itt, mielőtt az univerzális trigonometrikus keresési csökkenteni kell a mértéke a nevező képlet segítségével. Próbáld megérteni ezt a példát egyedül, a teljes megoldás, és a válasz nagyon közel van!
Alkalmazás az egyetemes trigonometrikus keresési gyakran vezet hosszú és fáradságos számításokat. Ezért a gyakorlatban az egyetemes trigonometrikus helyettesítés megpróbálják elkerülni (ha lehetséges). Ehhez használja a különböző módszerek és technikák, amely megtalálható a cikk Complex integrálok.
Megoldások és válaszok:
2. példa: Oldat:
4. példa: Oldat: