Használati útmutató Mathcad
Interpolációt és előrejelző funkció
Az interpoláció értékét használja a függvény definiált számos ponton megjósolni az értéke egy függvény között. A Mathcad csatlakozhatunk az adatpontok egyenes vonalak által (lineáris interpoláció), vagy összekötő őket szegmensenként egy harmadfokú polinom (spline interpoláció).
Ellentétben regressziós függvények tárgyalt a következő szakaszban, egy görbe interpolációs függvény pontosan meghatározható átmegy az előre meghatározott ponton. Emiatt, az eredmény nagyon érzékeny a hibás adatok. Ha az adatok zajos, akkor érdemes egy regressziós helyett interpoláció.
Lineáris predikciós hogy használja a meglévő adatok értékeit megjósolni értékek túl. A Mathcad van olyan funkció, amely lehetővé teszi adatok megjósolni a jövőbeli értékek meglévő adatok alapján.
Valahányszor tömbök használják bármely funkcióját ebben a szakaszban leírt, ellenőrizze, hogy minden egyes eleme a tömb tartalmaz egy bizonyos értéket, mint Mathcad hozzárendel egy értéket 0 és olyan elemeket, amelyek nincsenek kifejezetten meghatározott.
Ha lineáris interpoláció Mathcad összeköti a meglévő adatok pontokat egyenesekkel. A funkciót linterp. az alábbiakban ismertetjük.
Ez használ vektorok vx és vy adatokat. hogy visszatérjen a lineárisan interpolált érték y. megfelel a harmadik argumentum x. Érvek vx és vy vektorok hossza azonos. Vector vx tartalmaznia kell a valódi értékek sorrendjében rendezi.
Ez a funkció összeköti az adatokat pontokat egyenes szakaszokkal, így egy szaggatott vonal. Interpolált értéket egy adott x y az ordináta a megfelelő pont a szaggatott vonal.
Az x értékek, rendezett, mielőtt az első pont vx. Mathcad továbbra szaggatott egyenes, amely átmegy az első két adatpont. Mert x értékek, túl található az utolsó pont a vx. Mathcad továbbra is egy törött egyenest az utolsó két adatpont.
A legjobb eredmény az x értéke között kell lennie a legmagasabb és a legalacsonyabb értékeket a vektor vx - nem valószínű, hogy hasznos lehet az értékek kiszámítása x ezen a tartományon kívül. linterp funkció interpolációs nem ekstrapolyatsii. Az 5. ábrán néhány példát a lineáris interpolációval.
5. ábra: Példák a lineáris interpolációval.
Spline interpoláció lehetővé teszi egy görbe révén a készlet pontokat úgy, hogy az első és második származékok folyamatos görbét minden ponton. Ez a görbe által generált ami több köbméter polinomok átmenő készlet három szomszédos pontok. Cubic polinomok majd tompán egymáshoz alkotnak egy görbét.
Elvégzésére spline egy ponthalmaz:- Létrehozása vektorok vx és vy, amelynek koordinátái x és y. amelyen keresztül meg kell tölteni egy spline. Elemei vx kell növekvő sorrendben. (Bár az általunk használt nevek vx vy vs. és nincsenek korlátozások a nevét ezeket a változókat. Használhatja bármilyen neveket.)
- Számítsuk a vektor vs: = CSPLINE (vx vy.). A vektor tartalmazza a második származékok vs intepolyatsionnoy görbe ezeket a pontokat.
- Ahhoz, hogy megtalálja az interpolált érték egy tetszőleges helyen, mondjuk x0. számítani interpolált (vs. vx. vy. x0), ahol vs. vx és vy - vektorok a korábban leírt.
Felhívjuk figyelmét, hogy meg tudod csinálni ugyanazt a számítás alapján:
6. ábra: Példa a spline interpoláció.
A gyakorlatban előfordulhat, hogy kiszámítja az interpolált számos különböző helyszíneken. Mivel a fellebbezés a CSPLINE megkövetelheti egy csomó időt, és mivel az eredmény vissza nem függ a kérdéses pont, akkor van értelme, hogy ezt egyszer, kivéve az eredményt, és újra, a fent leírtak szerint.
A 6. ábrán, hogyan kell építeni egy spline az például az 5. ábrán látható A leírás a tett lépések 6. ábra:
Expression CSPLINE funkció kiszámítja a második deriváltak vs tömb egy spline interpolálására használtuk adatait vx és vy.
Miután a tömb vs találtak, interpolált függvény az interpolált érték.
Megjegyezzük, hogy a tömb vs kell kiszámítani csak egyszer, még több betoldások. Mivel a számítás vs időigényes, akkor jobb, hogy mentse közbenső eredményeket a vektor formájában, mint recompute őket, ha szükséges.
Amellett, hogy CSPLINE Mathcad jön két másik köbös spline függvények. Három spline függvények:
Mindannyian vissza a vektor az együtthatók a második származékok, amit úgy hívunk vs. Ez a vektor, vs. általánosan használt interp funkciót. az alábbiakban ismertetjük. Érvek vx és vy kell valós értékű vektorok egyenlő hosszúságú. Az értékek vx valósnak kell lennie, és vannak rendezve növekvő sorrendben.
Mindannyian vissza a vektor az együtthatók a második származékok, amit úgy hívunk vs. Ez a vektor, vs. általánosan használt interp funkciót. az alábbiakban ismertetjük. Érvek vx és vy kell valós értékű vektorok egyenlő hosszúságú. Az értékek vx valósnak kell lennie, és vannak rendezve növekvő sorrendben.
Ez a három funkció csak abban különböznek peremfeltételek: spline függvények; végére feltételei- lspline funkciót generál spline görbe, amely megközelíti egy egyenes vonal a határpontok.
- pspline függvény létrehoz egy görbe vonal, amely megközelíti a parabola a határpont.
- CSPLINE függvény létrehoz egy görbe vonal, ami lehet a harmadfokú polinom a határpont.
Visszaadja az interpolált érték y. A megfelelő argumentum x. Vektor vs alapján számítjuk adatvektor vx és vy egy lspline funkciókat. pspline vagy CSPLINE.
Interpolált értéket egy adott x y az ordináta a megfelelő pont spline. Az x értékek, rendezett, mielőtt az első pont vx. Mathcad továbbra spline első alkotó harmadfokú parabola. Mert x értékek, túl található az utolsó pont a vx. Mathcad továbbra spline utolsó alkotó harmadfokú parabola.
A legjobb eredmény az x értéke között kell lennie a legmagasabb és a legalacsonyabb értékeket a vektor vx - nem valószínű, hogy hasznos lehet az értékek kiszámítása x ezen a tartományon kívül. Borda van kialakítva interpoláció nem ekstrapolyatsii.
Interpolációs vektor pontok
Vektorizálásával az üzemeltető kiszámításához használt, ha az egész készlet interpolált értékek megfelelő vektor előre meghatározott pontokon. Ez lehetséges interp. és linterp.
7. ábra: A számítás a interpolált értékek a beállított pontot.
Spline interpoláció funkciók több változó
Mathcad végez köbös spline interpolációs függvény két változó azonos módon, mint az a korábban tárgyalt. Mathcad vezető felülete révén a rács csomópontok álló köbös polinomok x és y. úgy, hogy az első és a második részleges származékok folytonos egyes rács.
Az első lépés egy kétdimenziós spline interpoláció - pontosan ugyanaz, mint az egydimenziós esetben: Határozza meg a csomópontok, amelyeken keresztül a felületen át kell haladnia. Azonban ez lesz szükség több erőfeszítést, mert most meg kell határoznunk a rács csomópontok:- Létrehozása n x 2 mátrix Mxy. amelynek elemeit Mxyi, 0 és Mxyi, 1 meghatározza az x és y koordináták egy átlós egy téglalap alakú rács. Ez a mátrix ugyanazt a szerepet játssza, mint vx az egyik korábban leírt. Mivel ezek a csomópontok leírják az átlós elemek a minden egyes oszlopban Mxy kell helyezni növekvő sorrendben (Mxyi, k
- Készítsen egy n x n mátrix Mz. amelynek (ij) - Z elem az a koordináta megfelel a pont x = Mxyi, 0 és y = Mxyj, 1. Ez ugyanazt a szerepet játssza, mint vy az egy korábban leírt.
- Számítsuk a vektor vs: = CSPLINE (Mxy Mz.). Vektor vs tartalmaz közelítő második származékok a felület a csomópontok azonosított Mxy és Mz.
- Ahhoz, hogy megtalálja az interpolált érték egy tetszőleges helyen, mondjuk (x0, y0), kiszámítja
ahol vs. Mxy és Mz - hegységek korábban leírtuk. Az eredmény az érték a interpoláló függvény megfelelő pontot (X0, Y0).
Vegyük észre, hogy ugyanazt a dolgot lehet tenni kiszámításával
A gyakorlatban előfordulhat, hogy kiszámítja az interpolált számos különböző helyszíneken. Mivel a fellebbezés a CSPLINE megkövetelheti egy csomó időt, és mivel az eredmény vissza nem függ a kérdéses pont, akkor van értelme, hogy ezt egyszer, kivéve az eredményt, és újra, a fent leírtak szerint.
Amellett, hogy CSPLINE Mathcad jön két másik funkciója a spline interpoláció. Spline interpoláció funkciója Mathcad:
Mindannyian vissza a vektor az együtthatók a második származékok, amit úgy hívunk vs. Ez a vektor, vs. általánosan használt interp funkciót. az alábbiakban ismertetjük. Mxy - n x 2 mátrix, amelynek elemei Mxyi, 0 és Mxyi, 1 az a pont az átlós n x n mesh. (Ij) van az elem a mátrix határozza meg a értéke Mz interpoláló függvény (Mxyi, 0. Mxyj, 1).
Ez a három funkció csak abban különböznek a peremfeltételek:- lsplin e funkció létrehoz egy spline, ami közel van a gépen a rács a széleit.
- pspline generál spline függvény, amely egy másodfokú polinom x és y a széleit a rács.
- CSPLINE generál spline függvény, amely képviseli egy harmadik fokú polinom x és y a széleit a rács.
Visszaadja az interpolált értéket z. megfelelő pontok X = v0 és y = v1. Vektor vs számítjuk lspline, pspline, vagy CSPLINE adatai alapján Mxy és Mz.
A legjobb eredmény érdekében ne használja a interpolált függvény értékeit az x és y. távol rácspontok. Borda van kialakítva interpoláció, nem ekstrapolyatsii, így nem valószínű, hogy a számított értékeket ezek x és y. hasznos lesz.
Interpolációs függvény ebben a részben leírt mostanáig lehetővé teszi az értékek meghatározásához a funkció számos ponton megbecsülni az értékét a köztes helyeken. Néha szükség van megbecsülni a függvény értéke a pontok, amelyek a területen kívül a rács elrendezés, melyeket függvény értékei. A Mathcad ott megjósolni funkciót. amely lehetővé teszi ezt. Ez a funkció lineáris predikciós algoritmus, amely akkor hasznos, ha az extrapolált funkció sima és oszcilláló, bár nem feltétlenül periodikus. Lineáris predikciós lehet tekinteni, mint egyfajta ekstrapolyatsii, de nem szabad összetéveszteni a lineáris vagy polinomiális ekstrapolyatsiey.
8. ábra: A predikciós funkciók adatok extrapoláció.
Adja vissza N becsült értékek alapján az értékek m egymást követő adatok v vektor. Elemei v értékeket kell rendszeres időközönként.
megjósolni a függvény az utolsó m értékei az eredeti adatok kiszámításához predikciós együtthatók. Ha ez megtörtént, akkor használja az utolsó m pont megjósolni a koordinátákat (m 1) ponthoz, hatékonyan teremtve csúszó ablak szélessége m pont.