megszámlálható halmaz
§ 1.11. Megszámlálható halmaz. Denumerability meghatározott racionális számok. Uncountability valós számok halmaza
Meghatároztuk az egyenlőség fogalmát készletek. Jellemzésére telítettségi fokát az elemek végtelen halmazok egy kényelmes ekvivalencia fogalma készletek. A készlet az úgynevezett végtelen, ha vannak olyan elemei a készlet, amelynek száma nagyobb. Két nevezzük azonos, és ugyanabban az időben írni, ha azok között az elemek létrehozása egy az egyben megfelelés, t. E., Van egy szabály, a törvény szerint, amely megfelel az adott elem. Így alapján ez a szabály, két különböző elemek megfelelnek az két különböző elemek, és mindegyik elem megfelel egy elemhez.
Például, ha - több pont a sugarú kör, - több pont a koncentrikus kör sugara, nyilvánvaló, hogy (6. ábra).
Nyilvánvaló, hogy ha, akkor.
Ha, akkor a beállított nevezzük megszámlálható. Természetesen, maga a természetes számok halmaza megszámlálható (levelezés megfelelően van beállítva a rendszer). A szett páros pozitív egész szám megegyezik a teljes készlet, és a levelezés alapján kell megállapítani, a rendszerbe. Vegyük észre, hogy itt. Így, valódi részhalmaza (rész) azonos több megfordult a beállított. Ez a tulajdonság velejárója csak végtelen halmazok (lehet venni, mint a meghatározása végtelen sok).
A meghatározása megszámlálható halmazok ez azt jelenti, hogy annak elemei sorolható természetes számokat, így egy megszámlálható halmaz gyakran írják sorozataként elemei:
Counting (halmazelméleti) összeget.
megszámlálható (vagy véges) halmaza megszámlálható halmaz. Tény, hogy írunk az elemek egy táblázatban:
Nézzük sorolni őket a következő sorrendben:
dobás azonban minden lépését számozás az elemek, amelyeket számozott az előző lépésben: előfordulhat, hogy közös elemeket. Ennek eredményeként megkapjuk végtelen elemsorozatával, akkor nyilvánvaló, kimerítő. Ez azt bizonyítja, hogy - egy megszámlálható halmaz.
Hasonlóképpen, ha bebizonyosodik, hogy egy véges összege megszámlálható vagy véges halmazok, amelyek között van legalább egy megszámlálható, megszámlálható.
1. Tétel A mind racionális számok megszámlálható.
Bizonyítás. Tekintsük először a pozitív racionális számok. Hívjuk pozitív egész magassága racionális szám. Hagyja, - a készlet minden racionális számok azonos magasságú. A készlet áll véges számú elemet (racionális egész szám), például
Könnyen belátható, hogy
Mi felsorolni a számokat írt zárójelek balról jobbra, felszabadító, ugyanakkor minden egyes szakaszában a számozás, akik már számozott egy korábbi szakaszában. Ennek eredményeképpen megkapjuk a szekvencia
Mivel racionális pozitív számok végtelen sok, akkor használni az összes természetes számok. Tehát megszámlálható. Továbbá az is nyilvánvaló, hogy megszámlálható. Ezért minden racionális számok is megszámlálható.
2. tétel A mind valós számok megszámlálhatatlan.
Bizonyítás. Elegendő, ha a valós számok halmaza intervallumban számtalan formában. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, az intervallum egy megszámlálható halmaz, azaz valamennyi pontot lehet számozása ..:
De ez a feltételezés nincs. Sőt, mi össze egy valós szám, ahol a számok úgy választjuk, hogy és. Egyértelmű, hogy ugyanakkor nem esik egybe az egyik szám, különben kellene, hogy nem ez a helyzet.