VIII
Tekintsük a hullám egyenlet
és törekedni fogunk arra, hogy megoldást kielégítő a kezdeti feltételek
Azt feltételezzük, hogy a folyamatos együtt származékai fel a harmadik rend, és többek között a második rendet az egész teret. Először megmutatjuk, hogy az integrál
mentén vett olyan gömbfelület sugarú középpontú egy pont a megoldást a hullám egyenlet (1); egy tetszőleges függvény.
Megjegyezzük, hogy a pontok koordinátáinak a gömb fejezhető képletekkel:
ahol - a iránykoszinuszokat a gömb sugarának tudjuk írni őket a következő formában:
ahol a szög változik, hogy a hogy a szöget, amikor az a pont leírja a pont írja le gömb sugarú gömb egyenlő eggyel, az origó középpontú, és a terület között, a megfelelő elemek mindkét gömbök
Ezután a (3) integrál formájában
Ezért is könnyen belátható, hogy ez a funkció folyamatos származékok fel a rend, ha a függvény folytonos együtt származékai akár sorrendben. Tól a (4) találunk
vagy visszatér az eredeti integráció régió
Most differenciáló kifejezés (4) megkapjuk
Kiszámításához újraírás (6), mint
és a készítmény alkalmazása Ostrogradskii kapjunk
ahol a labda sugara középpontú egy pont. hívő
Differenciálás ez az expresszió tekintetében megszerzése
Könnyen belátható, hogy
Tény, hogy mozog a integrál a gömbi koordináták középpontú a lényeg, hogy van
differenciálás szerezni
Összehasonlítva egyenletek (5), (7) és (8) azt látjuk, hogy a függvény által meghatározott általános képletű (3) megfelel a hullám egyenlet (1), amit a funkció folytonos első és második deriváltak. A képletek (4) és (6) az következik, azonnal, hogy u megfelel a kezdeti feltételek
Ha van megoldás a hullám egyenlet (1) a kiindulási körülményekhez (9), akkor könnyen belátható, hogy
egyben az egyenlet megoldása (1) megfelel a kezdeti feltételek
Figyelembe most a kezdeti feltételek esetén (9) a funkció abban az esetben a kezdeti feltételek és a hajtogatott-funkció így épített megoldásokat, így a egyenlet megoldása (1) megfelel a kezdeti feltételeket (2).
Így oldatot a hullám egyenlet (1) megfelel a kezdeti feltételeket (2) felírható
Ez a képlet az úgynevezett Poisson formula.
Hogy világosabban közölt fizikai mintázata hullámterjedés háromdimenziós térben által leírt Poisson képletű (11), azt feltételezzük, hogy a kezdeti perturbációs koncentrálódik korlátozott régióban a határ 5 m. E. Hogy a függvény nulla, a régión kívül Legyen a pont kívül esik jelöli rendre minimum és maximum távolsága a pontokat, hogy a felület a gömb külső Ha mindkét függvény nulla, a gömb és a (11) képletű van egy t. e. a kezdeti zavarások még nem érték el, hogy az az időpont a gömb érinti n overhnosti és az első hullám előtt áthalad a ponton kezdő a időpontokban idejét gömb keresztezik a régióban, és a képlet (11) végül, a gömb lesz közös pontja a felülettel (az egész terület beleférjen egy gömb és a általános képletű (11), van t. e. kezdeti zavarások már áthaladt időpontban megfelel a folyosón a hátsó éle hullám előtt a ponton át a hullám előtt egy adott időpontban egy elválasztó felület pontok, amelyek még nem kezdett rezegni, a pontokat, amelyeket meg leblyutsya. A fentiekből következik, hogy az összes pontot ennek a felületnek a legrövidebb távolság a egyenlő első hullámfront a borítékot a család gömbök, amelyek a felszínen, és a sugara a hátsó hullámfront központok egy előre meghatározott ponton van egy elválasztó felület pontokat, amelyek még ingadoznak a pontokat amely az oszcilláció leállt. A konstans jelentése sebessége hullám előtt terjedését.
Így a kezdeti perturbáció lokalizált térben, okoz minden ponton cselekvési, lokalizált az időben; Ez akkor fordul elő, amikor a hullám terjedési bevezető és záró élei hullámok (Huygens-elv).