Laplace-egyenlet fizika
A differenciálegyenlet részleges származékok formájában:
Ez az úgynevezett Laplace-egyenlet derékszögű koordinátákkal.
Ez egy speciális esete a Helmholtz-egyenlet. Figyelembe lehet venni a háromdimenziós (1), két-dimenziós (2), a egy- és n - dimenziós terek:
Az üzemeltető az úgynevezett Laplace operátor (Laplace operátor ekvivalens a soros gradiens műveletek és divergencia.).
A megoldás a Laplace-egyenlet
Megoldások a Laplace egyenlet harmonikus függvények.
Laplace-egyenlet vonatkozik elliptikus egyenletek. Laplace egyenlet inhomogén Poisson-egyenlet.
Mindegyik oldatot a Laplace-egyenlet egy korlátos tartomány G egyedileg hozzárendelt peremfeltételek kivetett a viselkedését a megoldások (vagy ezek származékaival) a határfelületen G. Ha az oldat kérik az egész térben, a peremfeltételek csökken egy bizonyos vényköteles aszimptotikus f ha. A probléma megtalálásának ilyen megoldások az úgynevezett határ érték probléma. A leggyakoribb Dirichlet probléma, amikor a határ úgy van beállítva, hogy az f függvény, és a sok kihívás, ha a beállított érték a származékos f normális a határ.
Laplace-egyenlet gömb poláros és hengeres koordinátákat
Laplace-egyenlet felírható nemcsak derékszögű koordináta.
A gömbi koordináták (Laplace-egyenlet a következő formában:
A poláris koordináta (koordinátarendszerben egyenlet a következő formában:
Hengerkoordinátákban (egyenlet formájában:
Laplace-egyenlet csökkenti sok probléma a fizika és a mechanika, amelyben a fizikai mennyiség függvényében csak a pont koordinátáit. Így a Laplace-egyenlet írja le a potenciális gravitációs erők egy régió nem tartalmaz gravitáló tömeg potenciális elektrosztatikus mező - egy régióban nem tartalmazó töltés hőmérséklete a stacionárius folyamatok, stb Számos műszaki problémák kapcsolatos, különösen, egy állandó lassú áramlási .. a hajótest, a rögzített szűrési talajvíz előfordulását mező körül az elektromágnes és egy álló elektromos mezőt a közelben a porcelán szigetelő, vagy a földbe elektromos kábel Van egy változó keresztmetszetű csökken megoldása Laplace vagy Poisson háromdimenziós egyenletek. Nagy értékű Laplace operátor játszik a kvantummechanika.
Példák problémák megoldása
Keresés mező két koaxiális henger sugarát és a potenciális különbség, amely egyenlő
