végtelen halmazok
Ez azt jelenti, hogy a végtelen halmaz A és B jelentése azonos, AB. Ők „ugyanazt a hatalom.” Érdekes, hogy ez ugyanaz, mint a mnozhestvoA podmnozhestvuB, A
Ábra. 7.6. Létrehozásáról egy-egy levelezés között az egyenlő oldalak egy egyenlő szárú háromszög.
2. PustLM iNM- egyenlő oldalú egyenlő szárú treugolnikaLMN (ábra. 7.6).
Összekapcsolása A és B pontok egy háromszög oldalai egyenlő szegmensek egyenes vonalak párhuzamosak osnovaniyuLN. Kapunk egy-egy levelezés között a pontok között készletek meghatározott otrezkamiLM INM. Következésképpen ezek a halmazok egyenértékű és azonos teljesítmény.
3. Most LN és MN - LMN egyenlőtlen egy háromszög oldalai (ábra 7.7.). Összekapcsolása a A és B pontok oldalán az egyenes szegmensek párhuzamosak az oldalsó LM. Azt kapjuk, hogy az egyenlőtlen sokasága között fél meghatározza azokat a pontokat, egyforma teljesítményű. az ügy
Ábra. 7.7. Létrehozásáról egy-egy levelezés között egyenlőtlen oldalán egy egyenlő szárú háromszög.
hogy storonyLN IMN különböző hosszúságú, de mindegyik tartalmaz egy végtelen pontok halmaza, amelyek egyaránt „sok”.
megszámlálható halmazok
A készlet az úgynevezett megszámlálható. ha ez megegyezik a természetes számok halmaza.
Így az a lehetőség, „újraszámozásához” minden eleme a határozza meg, a megszámlálható. Ez a feladat nem mindig oldható meg könnyen.
Megjegyezzük, bizonyos tulajdonságait megszámlálható halmazok.
1. minden végtelen mindig ki egy megszámlálható halmaz.
Valóban, ha egy végtelen, akkor lehet építeni egy megszámlálható mnozhestvoN következik. Különítjük el, mint az első elem mnozhestvaN például elementmnozhestvaA .tak KaKa végtelen, akkor a kizáró ezekből a elementasohranit annak végtelenbe. További, külön a fennmaradó több elem csatolva, több N. majd végtelen számú elkülöníthető elem kapcsolódó egokN, és így tovább. MnozhestvoN válik: akkor megszámlálható.
Adj egy példát az ingatlan.
2. Minden végtelen részhalmaza egy megszámlálható halmaz megszámlálható.
Ha a halmaz megszámlálható és B- végtelen részhalmaza, majd egymás után válogatás elemei A. találkozni fogunk a halmaz elemeit B, és számozási őket, hogy bizonyos elemek a készlet B. B
3. Az Európai Unió bármely véges vagy megszámlálható halmaza megszámlálható halmazok megszámlálható halmaz.
Ennek bizonyítására nézzük tulajdonságait megszámlálható halmazok:
Alkotunk ezeket a csomagokat egy sor új
Ez úgy van kialakítva, hogy az első elem található, majd az elemeit, amelyek összege indexek ravna3. potom4. és így tovább. Az ilyen készlet tartalmazza az összes elemet a készlet maga megszámlálható, ekvivalentnymN.
számossága a kontinuum
Figyelembe véve a tulajdonságait megszámlálható halmazok, megpróbáltuk bebizonyítani countability egyes végtelen halmazok. Azt azonban, hogy minden végtelen halmazok megszámlálható? Ahhoz, hogy felfedezzék a megszámlálhatatlan halmaz kellett leküzdeni a sok nehézség. És B. Bolzano és Cantor, az érzés, hogy a létrehozásának ötlete egy az egyben megfelel a legfontosabb, hogy megtalálják a hatalom végtelen halmazok közel volt a probléma megoldásának egyidejűleg. B. Bolzano először jött értékelési módszer végtelen halmazok létrehozásával egy az egyben megfelelés, és az első, Cantor volt képes megtalálni megszámlálhatatlan. Ez a végtelen, és nem felel meg a természetes számok halmaza.
Tétel. A szegmens szám sorban számtalan pontot.
(Egy másik módja annak, hogy bizonyítani ezt a tételt, „Cantor diagonális módszer” látható a függelékben)
Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg: - megszámlálható ponthalmaz. Nézzük sorolni őket:
Van-e ezen a ponton a szegmens tartalmazza ebben a sorrendben?
Annak bizonyítására, a tétel, hogy talál egy pontot a szegmensben, ami nem terjed ki ez a sorozat.
Ehhez, felosztják a szegmens három egyenlő részre (ábra. 7.8). Kapunk szegmensek:
Ábra. 7.8. Építése pont nem szerepel a sorozatban.
Miért osztjuk 3 részre, és nem fél, illetve 4 db? Miért három részből azonosnak kell lennie?
Legalább egyikük nem ez a lényeg. Kiválasztja, ossza az új szegmens egy részhalmaza az intervallum, ismét három egyenlő részre, és válassza ki az, ahol nincs értelme (ez a „harmadik” nem lesz pont, a pont a fent megadott). Ezután egy új szegmenst újra osztani három egyenlő részre, és válassza ki az is, ha nincs tochkia3 (ahogy ina pont nem lesz), és így tovább. Ennek eredményeként nan- edik lépésben megkapjuk a szegmens hossza, ami szintén nem pont ,,, .. Folytatva ezt a folyamatot a végtelenségig, azt találjuk tochkua. amely nem szerepel a szekvenciában
Valóban, a közös pont a szegmensek. Ennek pont a szegmens, akkor fel kell tüntetni a sorozat, de ez lehetetlen, mert nem számít, hogy mit veszünk n, AN pont nem tartozik az adott szegmensben, és a pont lesz az övé, azért, és eltér az összes AN. amely bizonyítja a tétel.
Teljesítmény beállítja egyenértékű szegmensével, nazovemMOSchNOSTYu kontinuumba jelöljük bukvoyc.
Megemlítünk néhány ilyen készletek.
Tekintsük a szegmens. Felvett alábbi képlettel
,
létesít egy-egy megfeleltetés a monitor és a készlet. Következésképpen, ott számossága a kontinuum.
Ezen túlmenően, a több:
Ők ugyanazt a teljesítmény a kontinuum c. mert eltér a készlet egy véges számú pontot, hogy tartja őket a hatalom.
Egy teljesen váratlan eredményt a Cantor, kezdetben feltételezve, hogy egy négyzet oldala egyenlő 1. Ez tartalmazza a „több”, mint a pixel intervallumot. Ők voltak egyenértékűek.
„Látom, de nem hiszem el” - írta egy levelében Dedekind.
Valóban, ha rendezett a téren koordinatXOY rendszert. amint azt az alábbiakban Naris. 7.9. akkor valamennyi belső tochkeW. koordinátájú
Ez összefüggésbe hozható egy pont az intervallum:
Különböző pontjain W tér felel meg különböző pontjain az intervallum. Meg lehet mutatni (egy szigorúbb érvek), hogy ez a levelezés egy-egy-egy, így sok pontot a tér egy oldalon ravnoy1. és egy szegmens azonos teljesítmény. Sőt, nem csak a tér, hanem például egy kocka vagy egy gömb, amely „ugyanannyi” pontot, hányan tartalmazza a szegmensben.
Összehasonlítása a természetes számok halmaza megszámlálható és megszámlálhatatlan ponthalmaz a szegmensben az a kérdés, hogy a készlet közbenső teljesítmény érhető el? Más szóval, van egy végtelen halmaz, ahol az elemek száma „több”, mint a természetes számok, és a „kevésbé”, mint a pont a szegmenst? Ez znamenitayaproblemaKONTINUUMA. amely még mindig aggodalomra ad okot, hogy sok matematikus. A hatvanas évek elején
Ábra. 7.9. Egy lehetséges pontok között egy négyszögletes nyílásba, és pontokat.
A huszadik század, azt találták, hogy vannak olyan, mint a rendszer axiómája, amely a folytonosság hipotézis igaz, és az axiomatikus szerkezet, amelyben ez hamis.
A következő állítás bizonyítást nyer, a halmazelmélet:
Bármely halmaz, sok nagy teljesítményű (lásd. 2. és 3. ábra).
Beállítja a legnagyobb erő van. (Lásd 3).
A készlet minden halmaz részhalmazainak A kapacitása nagyobb, mint moschnostA.
A készlet minden halmaz részhalmazainak egy megszámlálható számosságú a kontinuum.
Állítsa elmélet tele van kihívásokkal és paradoxonok. és, hogy jelenleg az érdeke, hogy a kutatók. Egy ofthem fent tárgyalt. Itt jelenleg klassicheskiyparadoks Russell.
Legyen M - meghatározott valamennyi készletek, és N - a készlet minden részhalmaza. Ezután a hálózati mnozhestvaN minden alcsoportjánál kell több erő mnozhestvaM (szerinti 3). De opredeleniyuN - részhalmaza, így N = M. Kapunk egy végzetes ellentmondás.