Az egyenlet a csillapított oszcilláció

előző ◈ a következő

Csillapodó rezgések - oszcillációk amelynek energiája idővel csökken. Végtelenül tartós jellegű folyamat a természetben lehetetlen. Szabad rezgések minden oszcillátor, előbb-utóbb kihalnak, és megáll. Ezért a gyakorlatban általában foglalkozik csillapodó rezgések. Ezeket az jellemzi, hogy a rezgés amplitúdója A csökkenő függvénye. Általában csillapítás lép fel az intézkedés alapján a húzóerő, leggyakrabban kifejezett lineáris függését az oszcilláció sebessége vagy négyzet.

Legyen egy olyan rendszer, amely egy rugó (engedelmeskedik Hooke-törvény), amelynek egyik vége mereven rögzítve, a másik pedig a testtömeg m. Oszcilláció áll elő egy olyan környezetben, ahol a sebesség aránya arányos az ellenállás erő C (lásd. A viszkózus súrlódás).

Ezután Newton második törvénye a rendszer felírható:

ahol - az ellenállóképesség, - rugalmas erő

vagy differenciális formában

ahol k - a rugalmassági tényező a Hooke-törvény, c - együtthatója ellenállás, amely meghatározza az arány a mozgási sebessége a nehezék és a kapott erőt az ellenállás.

A következő jelöléseket vezetjük be, hogy egyszerűsítse:

Érték az úgynevezett sajátperiódusa a rendszer, - a csillapítási tényező.

Ezután a differenciálegyenlet formájában

Hogy a változás. karakterisztikus egyenlet kapunk

Roots szerint számítjuk a következő képlet

Függés grafikonok ingadozások az értékét.

Attól függően, hogy a nagysága a csillapítási tényezője az oldat van osztva három lehetőség.

Ha. van két valós gyökereit, és a differenciálegyenlet formájában:

Ebben az esetben a rezgések az elejétől exponenciálisan csillapodik.

Ha. két valós gyöke azonos. és az oldatot az egyenlet a következő:

Ebben az esetben előfordulhat, hogy egy átmeneti emelkedése, de aztán - exponenciális bomlás.

Ha. majd az oldatot a karakterisztikus egyenlet két komplex konjugált gyökerek

Ezután hozzáadjuk az eredeti differenciálegyenlet

Amennyiben - a természetes frekvenciája a csillapodó rezgések.

Konstansok, és minden esetben meghatároztuk a kezdeti feltételek:

rezgéscsillapítás rezgések úgynevezett fokozatos gyengülése az idők során, hogy a veszteség a rezgési energia a rendszer. csillapító jog tulajdonságaitól függ a rezgő rendszer. A rendszer neve lineáris. Ha a jellemző paraméterek a folyamat elengedhetetlen a fizikai tulajdonságait a rendszer nem változik a folyamat során. Szabad csillapodó rezgések lineáris rendszer által ismertetett egyenletet:

ahol - a csillapítási tényező. - saját rendszer frekvencia, azaz a gyakoriság, amellyel a rezgések történt hiányában csillapító. Expression csillapítási tényezője révén rendszer paraméterei típusától függ a rezgő rendszer. Például, a tavaszi inga, ahol R - együtthatója ellenállás, azaz a együtthatót közötti arányosság mértékét és az erő az ellenállás. A csillapodó rezgéseinek a oszcillációs áramkörben (ris.7.1.1). ahol R - ellenállás értéke az aktív kontúr.

Ahhoz, hogy az egyenlet megoldásához (7.1.1) készült cserét. Ez a helyettesítés vezet karakterisztikus egyenlet:

amely két gyökerei:

Abban nem túl nagy csillapítás (at) radicand negatív. Ha meg van írva formájában. ahol - egy igazi pozitív értéket, az úgynevezett gyűrűs gyakorisága csillapított rezgésnek és egyenlő. A gyökerek a (3) egyenlet a következőképpen írható fel:

Az általános egyenlet megoldása (7.1.1) a függvénye:

ami lehet például:

Itt - tetszőleges állandók.

Összhangban (7.1.6) mozgást végző rendszerek lehet tekinteni, mint egy harmonikus rezgés frekvencia w egy amplitúdó változó a törvény szerint:

csillapítás mértéke határozza meg a csillapítás együttható. Összhangban kifejezést (7.1.7) inverz csillapítási együttható nagyságrendűek az időt, amelyre a rezgésamplitúdót csökken «e» = 2,718 alkalommal.

Az az időszak, csillapodó rezgéseinek

Az az időszak, csillapodó rezgéseinek határozza meg a képlet:

Enyhe csillapítás () szinte megegyezik a rezgési periódus. A növekedési időszakban növekszik. Tól (7.1.7), hogy. Ez amplitúdó arány az úgynevezett csillapítási tényező. és a természetes logaritmus - logaritmikus csökkenést mutatott:

A logaritmikus csökkentésének mértéke ellentétes nagyságrendűek rezgések száma, melyet az idő, ameddig az amplitúdó csökken «e» szer. Eltekintve a érték a jellemző érték a rezgési rendszert használnak. Q nevezett vibrációs rendszer. A minőségi tényező arányos a rezgések száma, amelyeket a rendszer az időt, amely alatt a rezgés amplitúdója csökken «e» újra. A nagy Q-érték megfelel az alacsony csillapítás. Az energia, a rezgő rendszer idővel csökken. Ez annak köszönhető, hogy a csillapítás. A kis csillapítás, amikor az energia változik a törvény szerint:

ahol - az energia értéke a kezdeti időben.

Lehet azt mutatják, hogy az alacsonyabb csillapítási minőségi tényező faktoron belül 2p egyenlő az arány a tárolt energia a rendszer egy adott időben, hogy a veszteség az energia per rezgési periódus.

A növekvő g oszcilláció időszakban növekszik. Amikor az időszak válik végtelen, azaz a mozgás megszűnik periodikus. Amikor levezethető az egyensúlyi helyzet, a rendszer visszatér oda anélkül, hogy oszcilláció.

előző ◈ a következő