Mit topológia
Mit topológia. A legegyszerűbb topológiai invariáns
A leképezés f: A -> B egy-egy, ha minden egyes pontja a B halmaz jelenik pontosan egy pont a halmaz Ez azt jelenti, hogy egyrészt nincs két különböző pontjait A halmaz nem mozog ugyanabban a pontban a B halmaz ( nem „összeragadnak” a leképezés f), másrészt, minden egyes pontja a beállított B rendelt egy bizonyos ponton a készlet egy (vagyis egy jelenik meg a teljes készlet B, ahelyett, annak egy részét).
Egy-egy leképezés f: A -> B tudja határozni azt az inverz leképezési F -1. B -> A (amelyben minden pont y, tulajdonában lévő B, rendel több pont, halad át a leképezés y f).
Mapping f: A -> B nevezzük homomorf leképezést (vagy homomorfizmus), ha egyrészt egy-egy, és másrészt, kölcsönösen folyamatosan, vagyis nem csak a leképezés f folytonos, de a fordítottja is a leképezés f -1 folyamatosan.
Vizuálisan homomorfizmus leírható mint egy térképet egy készlet egy másik, amely akkor következik be diszkontinuitás nélkül, és ragasztás nélkül. Például, tegyük fel, hogy a darab, B „gyártott” a nagyon erős és rugalmas anyagból, és megakadályozza bármilyen nyújtás vagy torzítása az anyag szakadás nélkül, és anélkül, deformációt és a gyűrődéseket, és ragasztás; ha tudjuk ilyen körülmények között „kiszabott” alakú B-be, ők homomorf. Így, háromszög áramkör (vagy általánosabban, bármilyen sokszög) homomorf kerülete.
1. példa A felület a labda, a felület egy kocka, henger - homomorf együtt. Azonban, ezek a felületek nem homomorfikus tórusz (amely lehet láthatóvá, mivel a felület maguk fánk vagy belső cső. A felületi tömege homomorf tórusz.
2. példa Képzeljük el a betűk az orosz ábécé formájában vonalak. A betűk T, L, M, P, C homomorf együtt. A betűk E, Y, T, W, W, C, E és egy homomorf közötti, de nem homomorf korábban említett leveleket. Az O betű nem homomorfikus bármely más levél az orosz ábécé.
3. példa Legyen A - félkör O középpontú, ahonnan a végpontok kizárt m és n, A és B - tangenciális félkörök, az átmérője a párhuzamos Mn (ábra 31.1.). A központi nyúlvány p: A -> B a központtól O van egy homomorf leképezést. Így közvetlen homomorf félkör nélkül végpontok.
Másfelől, a félkörív homomorfikus szegmens (ez lehet kiegyenesedett). Ennélfogva, a vonal homomorfikus nyitott intervallum (azaz, a szegmenst, amely a használt vége-pont).
Jó lenne összehasonlítani a koncepció homomorfizmus és a fogalom a egybevágó számok. A figyelembe vett geometriai transzformációk megőrizve a pontok közötti távolság. Ezek az úgynevezett mozgások (vagy mozgások). Ennek eredményeként a mozgás minden egyes darab eltolódott egy új helyzetben, mint egy merev egység, megváltoztatása nélkül távolságok. A két alak, lefordítva egy másik ( „igazított”) révén a mozgás nevezzük egybevágó, és a tekintik a ugyanaz, mint a nem különbözik (a geometriai szempontból) egymástól. A topológia kijelző tartják sokkal gyakoribb, mint a közlekedés, azaz a homomorf leképezést. Két összekapcsolt darab homomorfikus tekinthető (egy topológiai szempontból), hogy az azonos, amelyek nem különböznek egymástól. Ezek a tulajdonságok a számok, amelyek nem változnak a homomorf leképezést, az úgynevezett topológiai tulajdonságait számok vagy tinvariantami (a latin szó változatlan - változatlan). A tanulmány a topológiai tulajdonságainak a számok és részt vesz a topológia.
A legegyszerűbb topológiai invariáns
Fent, figyelembe véve az 1. példa, azt mondta, hogy a felület a labda (gömb) a homomorf egy tórusz, és nem valószínű, hogy az olvasó minden bizonnyal ez. De hogyan lehet bizonyítani, hogy a két szám nem homomorf? Végtére is, az a tény, hogy nem volt képes megtalálni a homomorf leképezése az egyik alak a másikra, nem folyik, még teljes bizonyossággal, hogy egy ilyen homomorf leképezést nem létezik.
Annak bizonyítására, hogy a két szám nem homomorfikus egymáshoz vannak topológiai invariáns. Tegyük fel például, segítségével néhány szabály az egyes szám van rendelve egy bizonyos számot, és úgy, hogy a szám megfelel a két homomorf számok mindig megegyezik. Akkor ez a szám fejezi ingatlan adatai tartósított alatt homomorf leképezést, amely egy topológiai invariáns. Most, ha a két alak A és B jelentése olyan, hogy a megfelelő számokat különböző volt, ezek a számok nem lehet homomorf.
4. példa Az N betű jelentése egy szám, amely két „darab” Két nem rokon részből. A másik az ábécé orosz, mint Q, E, amelyek egy koherens darab. A száma csatlakoztatott „darab” ebből áll ábra (mondják is: a figurák száma egy komponens), egy topológiai invariáns; homomorfikus ha a két alak, majd mindketten állnak azonos komponensek száma. Ezért, az N betű homomorf nem, például a G betű, a levél U, a C betű, és így tovább.
5. példa ábra nyolcas van egy pont X, hogy eltávolítása után a nyolc pont x együtt adott pontot (ábra. 31,2, bal), megkapjuk a szám nem csatlakoztatott (amely több mint egy komponenst). Pont ezzel a tulajdonságot nevezzük egy elválasztó pont az ábra. Nem eltér x x * Nyolc pont nem osztódó (ábra. 31,2, jobbra).
A „ponttal elosztva”, „nem-elválasztó pont» topologikusan invariáns ha x egy elválasztó pont a A ábra, és az f: A -> B - homomorf leképezés, akkor f (x) egy elválasztó pont B. Ezért, a figurák száma elválasztó pontot a figura topológiai invariáns a száma, non-elválasztó pont - szintén topológiai invariáns.
6. példa Tekintsük a gömb, ahol p vágott körkörös lyukak és a tömítés lyukak az egyes fogantyú. Az eredő felületet (ábra. 31,3, a) nevezzük egy gömb p fogantyúval. Terjedelem Egy fogantyú homomorfikus tórusz (ábra 31,3, b.) És a gömb két fogantyúval - felület „perec” (amelyet ragasztással két fogantyúval, ábra 31,3, c.).