Christoffel szimbólum
Ábra. 2. Párhuzamos közlekedés az ív mentén
A képi ábrázolása a Christoffel szimbólumok állíthatjuk elő a példa a polárkoordináta-rendszer. Ebben a koordinátarendszerben pont a távolság r> belőle a pólus és a szög φ az irányt a sarki tengely.
Legyen egy vektor A> komponensekkel (a. Α). ahol A geometriai értelmében a nyúlvány a vektor> radiális gerenda (áthaladó eredetét a vektor), és α - szög a vektor látható a pole. Egy derékszögű koordináta-rendszert, a vektor komponensek nem változott párhuzamos átvitel. A polár koordinátarendszerben nem ez a helyzet (lásd. 1. és 2. ábra).
Christoffel szimbólumok csak kifejezni a változás a vektor komponense, ha ez egy párhuzamos elmozdulás.
Párhuzamos fordítás mentén a koordináta vonalak
Amennyiben a sugárirányú elmozdulás vektor mentén ray által távolságban d r> r>. komponens a. nyilvánvalóan nem változik, de a második koordináta (α) csökken (ábra. 1). Nagysága a vektor | A | 2 = a 2 + r 2 α 2 = a ^ + r ^ \ alpha ^> állandó marad, így a 2 + (r + dr) 2 (α + d α) 2 = a 2 + r 2 α 2 + (R + > R) ^ (\ alpha +> \ alpha) ^ = a ^ + r ^ \ alpha ^>. Ez a hozamok (elhanyagolása mennyiségű második és magasabb rendű értelemben):
Párhuzamos transzfer tetszőleges irányba
Egy tetszőleges kis elmozdulás vektort (. Ha változó és r és φ) változások szeres komponens:
A kapott kifejezések az általános szerkezete: a változó a vektor komponense arányosan minden vektor alkatrészek és arányos a műszak vektor. Az arányossági együttható (nélkül közös mínusz), és az úgynevezett Christoffel szimbólumok.
Itt a Christoffel szimbólumok Γ január 22 = - r ^ = - r >>. Γ = Γ február 12 február 21 = 1 / r ^ = \ Gamma _ ^ = 1 / r>. és az összes többi nulla.
Egy derékszögű koordináta-rendszert az összes Christoffel szimbólumok nullával egyenlő, mivel a vektor komponensek nem változott párhuzamos átvitel. Ebből arra lehet következtetni, hogy a Christoffel szimbólumok nem tenzor formában. ha a tenzor zéró bármely koordináta-rendszerben, akkor nullával egyenlő a többi koordináta-rendszer.
Christoffel szimbólumok az első és második típusú
Expression a metrikus tenzor
Levi-Civita szimbólum Christoffel csatlakozást a térkép X i> lehet meghatározni a hiánya torziós, azaz:
A rövidség kedvéért, a szimbólum nabla ∇ szimbólumok és részleges származékok gyakran elhagyjuk, ahelyett őket előtte az index, amely a differenciálódást kerül egy pontosvesszővel „;” abban az esetben, kovariancia és a vessző „” abban az esetben, parciális derivált. Így a fenti kifejezés is írható:
Explicit kifejezéseket a Christoffel szimbólumok a második fajta kapunk, ha tesz ez az egyenlet, és a másik két egyenlet, amelyeket úgy kapunk, ciklikus permutáció az indexek:
ahol g i j \> - kontravariáns képviselete a metrika, amely a mátrix inverz hogy g i j \>. talált megoldása az lineáris egyenletrendszer g i j g j k = δ k i g _ = \ Delta _ ^ \>.
Kommunikáció a bezyndeksnymi elnevezések
Formai, bezyndeksnye meghatározó összekapcsolódás kivett egy adott koordinátarendszerben, és ezért előnyösebb a bizonyítás matematikai tételek.
Legyen X és Y - vektor mező összetevők X i \> és Y k \>. Ezután a k-adik kovariáns származékát területén komponens Y tekintetében X adja
Feltétel, hogy nincs csavarás kapcsolat. ∇ X Y - ∇ Y X = [X. Y] Y- \ nabla _X = [X, Y] \>. egyenértékű szimmetria Christoffel szimbólumok két indexek:
Annak ellenére, hogy a Christoffel szimbólumok vannak írva ugyanazt a jelölést, mint a tenzor alkatrészeket. ezek nem tenzorok. mert nem átalakítani, mint a tenzorok az átmenetet egy új koordináta-rendszerben. Különösen, a választás a koordinátákat a szomszédságában bármely pontján a Christoffel szimbólumok lehet helyben készült nullával egyenlő (nem nulla, vagy fordítva), lehetetlen a tenzor.
Amikor a változás a változók (x 1 x n). x ^) \> (a y 1 y n). y ^) \>. alapján a vektorokat kovariancia
ami azt jelenti, az átalakulás képletű Christoffel szimbólumok:
A bár jelöli y koordinátarendszerben. Így a Christoffel szimbólumokat nem transzformált, mint egy tenzor. Ezek bonyolultabb geometriai objektumot a pontbeli a törvény nemlineáris transzformáció egyik koordináta rendszerből a másikba.
Megjegyzés. Meg kell jegyezni, például meghatározására, hogy az első index egy tenzor, azaz Christoffel szimbólumok vannak transzformálva, mint egy tenzor.
Christoffel szimbólumok különböző koordináta rendszerekben
A kifejezés karakterét a metrikus tenzor. vagy koordináta transzformáció, lehet szerezni az érték minden koordináta rendszerben. A mechanika és a fizika a leggyakrabban használt ortogonális görbe vonalú koordináta rendszerben. Ebben az esetben, a Christoffel szimbólumok azonos együtthatók kifejezve Lame együtthatók (diagonális elemei a metrikus tenzor) H β>. és az összes többi nulla.
Christoffel szimbólumok az első fajta is a következőképpen fejezhető ki:
Christoffel szimbólumok a második fajtája:
Az értékek a közös koordináta-rendszerben: