A gyűjtemény algebra problémák
Lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek I
§ 16 A tétel aritmetikai és geometriai
Például, a számok a 2. és 8. az átlagos a számokat, mint a geometriai átlag - √ száma 2 • 8 = 4. A számtani középértéke a számok 10, 10 és 80 egyenlő geometriai átlag √ 3 10 • 10 • 80 = 8000 = 3 √ 20
A számok 5, 5 és 5 a átlaga a számok, mint a mértani átlaga √ 3 5 5 • • 5 = 5.
Megjegyezzük, hogy mindhárom esetben a számtani átlag nem volt kevesebb, mint a mértani átlag, és ők váltak egyenlő csak a harmadik példában, ahol a szám az összes figyelembe vett egyenlő egymással. Ez nem véletlen. Jelenleg a következő általános tételt.
Teorema.Srednee számtani n pozitív számok, nem kevesebb, mint a mértani átlag:
Egyenlőség ebben a képletben akkor és csak akkor, ha minden n szám a1. a2. egyenlő.
Az előző részben bemutattuk, hogy bármely két pozitív egész szám a és b, az egyenlőtlenséget
ahol egyenlőség akkor és csak akkor, ha a = b. Így ez bizonyult a tétel a számtani átlag és a geometriai átlag két pozitív számok. Az általános esetben a bizonyítás ennek a tételnek meglehetősen gromozdko, és nem tartoznak ide.
igaz minden pozitív egész szám, és a és b. ismert volt az ókorban. 22. ábra azt mutatja, hogy a geometriai értelmezése ennek egyenlőtlenség ábra
Általánosítása egyenlőtlenség esetében tetszőleges számú pozitív számok (a tétel a számtani és geometriai) kész volt francia matematikus K o és w (1789-1857). A nevét egy kiváló tudós eToro kapcsolatos és néhány más méltó egyenlőtlenség, a tanulmány, amely azonban túlmutat a határain programunk
Példa 1. Igazoljuk, hogy bármely szám, a, b és c. ugyanaz az előjele,
Valóban, az a számelmélet alaptétele és geometriai
amely magában foglalja a kívánt kapcsolatban.
2. példa Annak bizonyítására, hogy a következő egyenlőtlenség teljesül tetszőleges pozitív chislaa
ahol a jele az egyenlőség csak tart, amikor a = 1.
Alkalmazva a tételt aritmetikai és geometriai a 100 számot kapunk
amely magában foglalja a kívánt kapcsolatban. Az egyenlőség csak akkor, ha az összes 100 szám egyenlő, vagyis ha a = 1.
A tétel a számtani és mértani következő fontos következménye.
Sledstvie.Esli terméket n pozitív számok értéke 1, és ezek összege nem menshep. Más szóval, ha egy pozitív szám a1. a2. kielégítése
ahonnan kapjuk (1).
A gyakorlatban, a kapcsolat (1) alkalmazunk, különösen, ha n = 2. Az összeg két kölcsönösen inverz pozitív egészek nem kevesebb, mint 2:
Bizonyítsuk egyenlőtlenség (№ 121-129):
131. Mi az a legkisebb érték vehet az összeg a 2 + b 2 Ha a + b = 2, ahol a és b számok pozitív?
132 *. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész szám értéke n