Építése ortonormált alapján sajátvektorok
Minden definíció és tulajdonságai lineáris transzformációk megőrzik jelentőségüket az euklideszi térben. Mindazonáltal a jelenléte skalárszorzat lehetővé teszi, hogy kiemelje fontos speciális osztályok lineáris transzformációk. Ezek az osztályok vannak kapcsolva, és önadjungált átalakulás.
Egy lineáris transzformációs mátrix a f * L * nevezzük konjugátum ez az átalakulás f L mátrix, ha bármely két vektor Rn van
Engedje meg, hogy hogyan lehet kapcsolatba lépni a mátrix L és L * néhány ortonormált bázis.
A definíció szerint a kettős konverziós bármely ortonormált bázis vektorok közötti egyenlőség
A képek alapján vektorok az űrlapot, majd
Ennek eredményeként, minden i = j és, és így a konjugátum transzformációs mátrix nyert a mátrix Ltransponirovaniem: L * = L T.
Megjegyezzük, hogy ha az L - ortogonális mátrix, azaz a L T = L -1. majd a konjugátumot a transzformáció az inverz transzformáció: L * = L -1.
A lineáris transzformáció f nevezzük adjungált. ha bármilyen származó vektorok Rn valódi egyenlőség
Más szóval, a lineáris transzformáció selfadjointness ha egybeesik a konjugátummal, azaz L = L T. Ebben az esetben a mátrix Lsimmetricheskaya.
Sorolja alapvető tulajdonságait önadjungált transzformációk.
1 0. Minden sajátértékei a önadjungált transzformáció érvényes.
Például, az n = 2 által adott karakterisztikus egyenlet vagy. A diszkriminánsa másodfokú polinom és nem negatív valós gyökereit trinomiális.
2 0. A sajátvektorok egy önadjungált transzformáció, tartozó különböző sajátértékek ortogonálisak.
Valóban, legyen. majd a egyenlőséget csak akkor lehetséges, ha
3 0. Az euklideszi térben, létezik egy ortonormáiis bázis a sajátvektorok a önadjungált lineáris transzformáció. Ez a megállapítás az úgynevezett alapvető tétel a önadjungált transzformációk. Ebből következik, különösen,
Teorema.V alapján az egység sajátvektorok lineáris transzformációs diagonális mátrixa ez az átalakulás. ahol az elemek a fő diagonális vannak annak sajátértékek.
Sőt, egy lineáris transzformáció jól definiált, ha kapnak képek alapján vektorok.
De ha az alapvető az egység vektorok. képeiket tartozó sajátértékek az űrlap
És akkor az ilyen lineáris transzformációs mátrix átlós :.
Feladat 0.64. Megtalálni a sajátvektor és sajátérték egy önadjungált transzformációs a mátrixhoz. Keressen egy ortonormált bázis sajátvektorok a mátrix és hogy az átmenet kezdeti alapot találni.
Határozat. A karakterisztikus egyenlet gyökerei
# 956; 1 = 0. # 956; 2 = # 956; 3 = 6. Amikor # 956; 1 = 0 egyenletekből megtalálják az arány sajátvektor koordináta x1. x2. x3 = 1: 2: 1, majd - az első sajátvektor. a # 956; 2 = # 956; 3 = 6, az egyenletrendszert csökken egy egyenletet x1 + x3 + 2x2 = 0, úgy, hogy az arány a sajátvektor koordinátákat nem lehet egyértelműen meghatározni. sajátérték # 956; = 6 megfelel az végtelen számú, nem-kollineáris sajátvektorok merőleges vektor. két, egymásra merőleges vektorok tetszőlegesen választott ezeket a vektorokat. Például vegyünk egy vektor. mert a koordinátái kielégítik az egyenletet
x1 + x3 + 2x2 = 0. Ezután a koordinátákat a sajátvektor. ortogonális vektorok és. határozza meg az egyenleteket. kap
Nyilvánvaló, hogy a sajátvektorok ortogonális, mert . Normalizálása őket megszerezni a szükséges alapot:
Az átmenet mátrix a kiindulási alapját a talált koordináta oszlop áll egy új
5. §. A kvadratikus alak, és annak mátrix kanonikus formában.
Tegyük fel, hogy egy ortonormáiis bázis szimmetrikus mátrix n - edik sorrend határozza adjoint lineáris transzformáció f. Másodfokú formában. társított a transzformáció egy f k (), minden egyes egymást vektor számos, az alábbi képlet szerint:
A mátrix L nevezzük a mátrix a kvadratikus alak k () egy előre meghatározott alapon.
Feladat 0.65. Rögzítse kvadratikus formában, amelynek mátrix =
A kvadratikus forma k () tartalmaz a termék és koordinálja azok terek, így néha azt mondják, hogy a kvadratikus alak - homogén polinom második mértékű N változók. Ez általában írva úgy, hogy a diagonális elemei L jelentése a együtthatók a négyzetek a változók, és az egyes off-diagonális elem késleltetés fele a termék a együtthatója a megfelelő változók.
Feladat 0.66. Kvadratikus alak mátrix Keresse meg a mátrixban.
Határozat. A kapcsolat a koefficiensek kvadratikus formák és a mátrix elemei, megkapjuk a választ.
Perehodot alapján egy új alapon jár transzformációs vektor koordinálja, és a változás a lineáris transzformációs mátrix L * = T -1 L T. Ha egy ortonormáiis bázis, az átmenet T mátrix egy új alapon ortogonális, azaz T T = T 1. majd
L * = T T L T. Ez a képlet határozza meg, a variációs mátrix négyzetes formában cseréjekor egy ortonormáiis bázis a tér.
Különösen érdekes az új alapokon. ahol a kvadratikus alak veszi a legegyszerűbb (kanonikus formában).
Tétel. Minden kvadratikus alak ortonormált bázis, ahol azt egy úgynevezett diagonális:
Bizonyítás. A meghatározás szerint minden kvadratikus társított űrlap szimmetrikus mátrix L, amely egy-es önadjungált transzformációs mátrix.
A Alaptétele önadjungált átalakulás euklideszi térben, létezik egy ortonormáiis bázis a sajátvektorok a mátrix L. Ez alapján mátrix olyan diagonális L (cm. Tétel §4), amely mentén vannak elrendezve a fő diagonális sajátértékek # 956; 1. # 956, 2, ..., # 956; n. Ezért ennek alapján a másodfokú forma kanonikus (átlós) formában:
Feladat 0.67. Keressen egy alapot, amelyben a kvadratikus alak diagonális.
Határozat. F kvadratikus forma mátrix = egy diagonális nézete egy ortonormáiis bázis a sajátvektorok a mátrix A. A karakterisztikus egyenlet gyökerei # 956; 1 = -4, # 956; 2 = 1.
Találunk és normalizálja a sajátvektorok.
Az átmenet mátrix a régi alapján, hogy az alapja a formában. majd a koordinátáit (x1, x2). alakítjuk képletekkel:
Ennek eredményeként, a kvadratikus alak tart egy átlós formában
Definíció. A számos nem nulla együtthatók a kvadratikus formájában diagonális formája megegyezik a rangot a mátrix és az úgynevezett rangot a kvadratikus alak. A különbség a számos pozitív és a több negatív együtthatók kvadratikus formák diagonális formáját nevezzük az aláírás a kvadratikus alak, és jelöljük # 948;.
Mindkét számok nem függ a bázis, ahol a kapott diagonális kvadratikus formában.
№1. Mutassuk meg, hogy a vektorok alapját képezik a háromdimenziós lineáris tér és megtalálni a bővítés a vektor vektorok ezen az alapon. Ellenőrzés.
№2. Eredeti L3 alapján a tér áll vektorok. A második alap vektorokat tartalmaz létrehozása képletek kifejező új koordinátákat a vektor révén a régi pozícióját az átmenet az első a második bázis alapján.
№3. Keresse meg a sajátvektor és sajátérték tartozó mátrix
№4. Milyen értéken alapján a vektorok és merőleges? Normalizáld Ennek alapján, ha az alapja - ortonormált.
№5. Find egy ortonormáiis bázis a sajátvektorok a kvadratikus formájában a mátrix és hozzon létre a képlet a koordináta transzformáció x, y és z a átmenetet egy új alapon. Kvadratikus alak, hogy nyújtson be az átlós formában.