Becslése paraméterek valószínűségi változók - studopediya
1. Értékelés függvényében valószínűségi változók - az eredmények megfigyelések.
Tekintsük a probléma a meghatározó numerikus jellemzői a véletlen X változó rezultatm n független kísérlet. Jelöljük megfigyelt értékei valószínűségi változó
Úgy lehet tekinteni, mint n «példányban» valószínűségi változók X, azaz n független valószínűségi változók. Amelyek mindegyike alatt forgalmazott azonos jogot, mint a véletlen érték X.
jelent ã értékelését a. Bármilyen értékelése alapján számított anyag X1. X2. ..., Xn kell függvényében ezek az értékek:
és ezért maga is egy véletlen értéket. Egy ilyen becslés az úgynevezett „pontot.” forgalmazási szabályokat ã Ez attól függ, egyrészt, a méreteloszlás törvény X (és, különösen, az ismeretlen paraméter a): és másrészt a száma n kísérletek. Elvileg ez az elosztás megtalálható ismert módszerekkel valószínűségszámítás.
2. Kritériumok értékeléseket.
Ha egy növelés a kísérletek száma n Pontszám ã konvergál a valószínűsége, hogy a paraméter egy ilyen vizsgálat az úgynevezett gazdag.
Ha a várakozás értékelés ã a becsült paraméter egyenlő egy, t. e. elvégzett
hogy egy ilyen értékelésnek nevezzük elfogulatlan.
Ha az értékelés ã rendelkezik több más eddig legkisebb szórást, t. e.
ez nazyvetsya hatékony.
A gyakorlatban nem mindig lehetséges, hogy eleget tegyen ezeknek a követelményeknek. Például, lehet, hogy még ha eredményes értékelése képlet kiszámításának túl bonyolult, és mi kell kielégíteni a többi becslések hatásától, amely a szórása még néhány. Néha használják - enyhén torzított becslések. Azonban a választás értékelési mindig meg kell előznie a kritikus vizsgálatát az összes fenti Toce.
3. Becslések az várható értéke és szórása.
Tegyük fel, hogy egy véletlen X változó az átlagos m és variancia D; Mindkét parameira ismeretlen. Fent a termelt mennyiség X n független kísérlet adta eredményeket X1. X2. Xn.
Mint egy becslést a várható persze, hogy egy statisztikai átlag m *:
Be tudjuk bizonyítani, hogy ez a becslés konzisztens és elfogulatlan. Ha az X változó normális eloszlás, a szórás lesz a legalacsonyabb, azaz a. E. becslése hatásos. A többi elosztó törvények nem lehet a helyzet.
Ha a szórás a becslés, hogy egy statisztikai diszperziós D *
akkor, amikor ellenőrzi kiderül, hogy ez a becslő következetes, de nem részrehajló. Her elvárás:
A becslés D * helyett a diszperziós D fogjuk, hogy néhány rendszeres hiba a kisebb oldalon. Ahhoz, hogy megszüntesse ezt a offset, egy korrekciós elég sokszorozó D érték * n / (n-1).
az úgynevezett „korrigált” statisztikai eltérés. Ez a becslés konzisztens és torzítatlan, de nem hatékony. Azonban, ha ez egy normális eloszlás „aszimptotikusan hatékony”, akkor esit növekvő n aránya a diszperzióban, a lehető legkisebbre tetszőlegesen közel van az egység.
4. Az eljárás pillanatok az pontbecsléseket elosztási paraméterekkel.
Ez a módszer azon a tényen alapul, hogy az eredeti és a központi momentumok következetes eredeti becsléseket, illetve és az elméleti központi pont ugyanabban a sorrendben. Az eljárás által javasolt K. Pearson és abból áll, hogy egyenlővé az elméleti szempontból a eloszlása a megfelelő staisticheskim pillanataiban ugyanabban a sorrendben.
Tekintettel néző sűrűség eloszlását az f (x, # 952;), által meghatározott egyetlen ismeretlen paraméter # 952;. Meg akarja találni a pontbecslése paraméter # 952;.
Miután a momentumok módszerével, azonosítjuk a kezdeti elméleti pillanata az elsőrendű kezdeti momentumok az elsőrendű:
Az elvárás, amint látható a kapcsolat
függvénye # 952;, így a kifejezés
Meg lehet tekinteni, mint egy egyenlet egy ismeretlen # 952;. Egyenlet segítségével tekintetében a paraméter # 952;, ezáltal megtalálja a becsült pontot.
Mivel egyfajta sűrűségeloszlás f (x; # 952; 1 # 952; 2) határoztuk meg ismeretlen paramétereket # 952; 1 és # 952; 2. Ahhoz, hogy megtalálja a két paramétert kell két egyenlet ezekre a paraméterekre. Miután a momentumok módszerével azonosítjuk a kezdeti elméleti pillanata az elsőrendű statisztikai pillanatról a kezdeti elsőrendű, valamint elméleti középpontja benyomult a központi rend momentumok a másodrendű:
Mi lehet olyan rendszert alkot, két egyenlet két ismeretlennel
Megoldása ez a rendszer tekintetében ismeretlen parameirov # 952; 1 és 952 # 2, így kapják pontbecsléseket.
5. A módszer a maximális valószínűség.
Javasolta R. Fischer.
A diszkrét valószínűségi változók. Legyen X - diszkrét véletlen változó, n értéke eredményeként a vizsgálati elfogadott értékek x1. x2. xn. Tegyük fel, hogy a változó típusa X adott forgalmazási szabályokat, de ismeretlen paramétert # 952;, amelyet a törvény által meghatározott. Ez szükséges, hogy megtalálja a megfelelő becsült pontot.
Jelöljük a valószínűsége, hogy egy vizsgálati eredmény értéke X értéket veszi xi (i = 1, 2 n), p (xi; # 952;).
Likelihood funkciója diszkrét X valószínűségi változó az úgynevezett függvényjel # 952;:
Ahogy egy pont becsült paraméter # 952; hogy ilyen érték # 952; *, amelyben a likelihood függvény maximális. értékelés # 952; * az úgynevezett maximális valószínűség becslés.
Funkció ln L L, és eléri a maximális ugyanazon az értéken, így ahelyett, hogy a megállapítás a maximális L keres (ami sokkal kényelmesebb) a maximális függvény ln ln L. L nazyvyut log-likelihood függvény.
Folyamatos valószínűségi változók. Legyen X - folytonos valószínűségi változó, mint amelynek eredményeként n értékek elfogadott ipytany x1. x2. xn. Tegyük fel, hogy a formája eloszlásának sűrűségű f (x; # 952;) van beállítva, de ismeretlen paramétert # 952;, ami által meghatározott függvény.
A funkció a folyamatos X valószínűségi változó valószínűségi függvényjel nazyvyut # 952;
Maximum likelihood becslés az ismeretlen paraméter folytonos véletlen változó eloszlása néz ki, mint abban az esetben, diszkrét értékeket.
6. konfidencia intervallum. Megbízhatósági szinten.
Ahhoz, hogy egy ötlet pontosságának és megbízhatóságának értékelése ãA matematikai statisztika az úgynevezett megbízhatósági határokat és a bizalom valószínűsége. Ezek a fogalmak szempontjából különösen fontosak a kis számú megfigyelés, amikor a becsült pont ã nagyrészt véletlen és hozzávetőleges cseréje és a ã Ez ahhoz vezethet, hogy súlyos hibákat.
Hagyja, hogy a paramétert és szerezzen tárgyilagos értékelést ã. Azt akarjuk, hogy mérje fel a ezt a hibát. Hozzárendelése egy kellően nagy valószínűséggel (nprimer, # 946; = 0,9, 0,95 vagy 0,99), oly módon, hogy egy eseményt egy valószínűségi # 946; Meg lehet tekinteni teljesen biztos, és talál egy értéket # 949;, amelyre
Ezután a különböző lehetséges értékeket hiba fordul elő, amikor a helyébe lépő és ãWill; nagy abszolút érték hiba csak akkor fordul elő alacsony valószínűségű.
Átírjuk az egyenlet formájában privednnoe fent:
Ez azt jelenti,. hogy valószínűséggel # 946; ismeretlen érték patametra és tartományba esik
Trust hívás időtartam, amely magában foglalja egy ismeretlen paraméter egy előre meghatározott valószínűség (megbízhatóság).
Bizalom valószínűsége (megbízhatóság) annak a valószínűsége, amellyel a egyenlőtlenség.
Az érték egy nem véletlenszerű, hanem véletlenszerű időközönként. Mellesleg pozícióját az x tengelyen által meghatározott központjától ã; random árrést és az időközt 2 # 949;, hiszen a mennyiség # 949; számítja, mint általában, a kísérleti adatok. Ezért jobb értelmezni értéke # 946; nem a valószínűsége „üti” a intervallumban I # 946;. valamint a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen I intervallum # 946; és kiterjed a lényeg.
Megnéztük a megbízhatósági intervallum szimmetrikus viszonylag ãÁltalánosságban elmondható ez nem szükséges.
Annak megállapítására, pontosságát és megbízhatóságát az értékelés, meg kell tudni, hogy a törvény a forgalmazás. Ha tudtuk volna, a törvény eloszlási értékek ã, A megbízhatósági intervallum lenne a probléma a megállapítás igen egyszerű: elég lenne találni egy értéket # 949;, amelyre
A nehézség abban rejlik, hogy a törvény a elosztását értékelés ã Attól függ, hogy a forgalmazási joga X, és ezért annak ismeretlen paramétereket (különösen a paraméter a).
7. A megbízhatósági intervalluma a várható normális eloszlású véletlen változó ismert szórás.
Feltesszük, bizonyíték nélkül, hogy ha egy X valószínűségi változó normális eloszlású, a vzyayatoe becslést a matematikai elvárás statsticheskoe átlagos
egy valószínűségi változó elosztott rendesen, és ez a törvény a következő paramétereket:
ahol m, D és # 963; vonatkozó paramétereket a törvény eloszlása a véletlen változó X.
Tekintsünk egy véletlen változó. forgalmazási szabályokat # 916; Az is természetes, és paramétereit:
Határozzuk meg a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen változó ütő # 916; intervallumon [- # 945;, # 945]
Mivel a bizalom valószínűsége # 946;, a táblázatban az értékek a beépített függvény Laplpsa könnyen meg a u értéke, figyelembe véve, hogy. ezután meghatározzuk # 945;
Most lehet írni
Így ez a megbízhatósági intervallum várakozás egy X valószínűségi változó, a normális eloszlás jog egy adott megbízhatósági valószínűség # 946;.