Példák megoldása tipikus problémák valószínűségszámítás, problémamegoldás
Feladat 47. A 10 kamra lövők, beleértve 3 különböző 5 és 2 közepes minőségű. Köztudott, hogy a valószínűsége, ütő a cél Sharp Shooter - 0.9 jó - 0,8, és égetés kielégítően - 0.6. Elmulasztása okozta véletlen nyíl termelni lövés a cél. Mi a valószínűsége, ütő a cél, hogy a lövő?
Hagyja, hogy a rendezvény A - nyilak elérje a célt. Hipotézisek: H1 - kiváló lövő; H2 - jó lövő; H3 - egy középszerű shooter. A valószínűségek ilyen hipotézisek a következők :; ; .
Feltételes valószínűség ütő a cél ezeknek a hipotézis:
Ezután, az alábbi képlet szerint a teljes valószínűség, a szükséges valószínűsége, ütő a cél egyenlő
Határozat. Összhangban Bayes formula. a valószínűsége, hogy a hipotézis a vizsgálat után a termék a valószínűsége, hogy a hipotézis, hogy teszteljék a feltételes valószínűsége esemény ezt a hipotézist, osztva az összes esemény valószínűsége:
A mi a probléma, az esemény A - nyilak elérje a célt; H1 hipotézis - tüzelésű kiváló lövés; H2 - jó lövés a nyilak; H3 - lőtt egy középszerű shooter.
A priori [1] (doopytnye) hipotézisek valószínűségek, tudjuk: P (H1) = 0,3; P (H2) = 0,5; P (H3) = 0,2. Feltételes valószínűsége, ütő a cél ezeknek a hipotézis: P (A / H1) = 0,9; P (A / H2) = 0,8; P (A / H3) = 0,6. A teljes valószínűsége, ütő a cél P (A) = 0,79.
Ezután posteriori [2] (posleopytnye) hipotézisek valószínűségek egyenlő lesz
Megjegyezzük, hogy az összeg a valószínűségek hipotézisek a vizsgálat után mindig egy. A példánkban.
Feladat 49. A csírázását a növényi magvakat 90%. Annak a valószínűsége, hogy egy öt vetett magvak: a) négy; b) nem kevesebb, mint négy.
Határozat. Az általunk használt képlet a Bernoulli. Ha P készült független vizsgálatok, amelyek mindegyikében a valószínűsége az esemény A jelentése állandó, és egyenlő a R és a valószínűsége az ellenkező esemény Q = 1-P. a valószínűsége P (t), hogy amikor ez az esemény pontosan úgy hajtjuk végre ideje T, úgy számítjuk ki, a képlet
Ahol számos kombinációt n elemeinek T.
A) A feladat szerint valószínűsége csírázási P = 0,9; akkor Q = 0,1; ebben az esetben n = 5, a T = 4. Behelyettesítve ezeket az adatokat a Bernoulli képlet (1), megkapjuk
B) A szükséges esemény A jelentése, hogy emelkedik vagy négy, vagy öt ötből elvetett magok. Így a P (A) = P 5 (4) + P5 (5). Az első ciklus már nem találtak. Kiszámításához a második ismét érvényesek (1) egyenlet:
Probléma 50. A esemény valószínűsége egy az egyes 625 teszt 0.64. Annak a valószínűsége, hogy A esemény bekövetkezik, pontosan 415-szor ezekben a vizsgálatokban.
Határozat. Ha a kísérletek száma n nagy, akkor az alkalmazás a Bernoulli képletű vezet, hogy nehézkes számítások. Ezzel a formula, akkor gyakorlatilag lehetetlenné válik. Ilyen esetekben, a közelítő képletet használjuk, amely kifejezi a lényege a helyi Laplace tétel.
Ha a valószínűsége egy esemény A minden egyes n független kísérletek állandó, és egyenlő a P (P értéke nullától eltérő, és az egyik), és a szám n elég nagy a valószínűsége, P (t), hogy egy esemény egy bekövetkezik m-szer (nem számít, ezekben a vizsgálatokban, milyen sorrendben) számítjuk megközelítőleg a következő képlet szerint
Vannak kész táblázatot az értékek a J (x) (lásd. Táblázat. 1., függelék).
A X> 5 úgy vélik, hogy a J (x) „0. Mivel a függvény J (x) páros, akkor J (-x) = J (x). A hipotézis P problémák = 625, T = 415, P = 0,64. Találunk Q = 1-0,64 = 036. Mi határozza meg az értékét X az adatok:
Táblázat szerint. 1, azt találjuk, hogy a J (1,25) = 0,1826. Behelyettesítve ezt az értéket a (2), megkapjuk
Feladat 51. 0,04% gyomok magukban foglalják, rozs vetőmag. Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott 5000 magok kimutatására gyommagvak 5?
Határozat. A használata aszimptotikus formulák (2) számára az esetben, ha a valószínűsége P közel nulla, vezet jelentős eltérés a pontos értékét a P (t). A kis értékei esetén a P (a kis értékei esetén Q) alkalmazott Poisson aszimptotikus formula.
Ha a valószínűsége egy esemény A minden egyes n független kísérletek kicsi, és a kísérletek száma n elég nagy a valószínűsége, hogy egy esemény egy bekövetkezik ideje T, számítjuk megközelítőleg a következő képlet szerint
Formula (3) olyan esetekben használjuk, amikor az L £ 10. A nagyobb az n szám, és kevesebb számú R. pontosabb eredményt ezt a képletet. A hipotézis P problémák = 5000, T = 5, P = 0,0004. Akkor L = 5000.0,0004 = 2. Alkalmazásával (3), megkapjuk
Feladat 52. A valószínűsége, ütő a cél egy lövéssel 0.6. Annak a valószínűsége, hogy a találatok száma a 600 felvétel fogják megkötni a tartományban 330-375.
Határozat. Formula Bernoulli, Poisson, aszimptotikus képletű (2), amely kifejezi a lényege a helyi Laplace-tétel lehetővé teszi számunkra, hogy megtalálják a valószínűsége egy esemény Egy pontosan m-szer n független vizsgálatokban. A gyakorlatban igen gyakran szükség van, hogy meghatározzuk annak valószínűségét, hogy A esemény bekövetkezik legalább egyszer T1 és T2 idővel t. E. A T Defined egyenlőtlenségek T1 £ £ T T2. Ebben az esetben használja a Laplace-tétel.
Ha a valószínűsége egy esemény A minden egyes n független kísérletek állandó, és egyenlő F (F értéke nullától eltérő, és egy), és az n értéke elég nagy a valószínűsége, hogy egy esemény A ezekben a vizsgálatokban jön nem kevesebb, mint a T1 idő, és nem több, mint T2 idők kiszámítása megközelítőleg a következő képlet szerint
Vannak függvény értékei táblázatban (lásd. Táblázat. 2. függelék). F (x) a Laplace funkciót. Ez páratlan funkciója, azaz F (-x) = - .. F (x). Ezért egy táblázatot az értékek adják csak a pozitív számok. A F (x) egy monoton növekvő. Ha X növekszik végtelenségig f (x) igyekszik 0,5. Ha kész értékei Laplace funkció, a (4) képlet felírható:
A 2. táblázat szerint, azt találjuk, F (1,25) = 0,3944; F (2,5) = - F (2,5) = - 0,4938. Behelyettesítve ezeket az értékeket (5), megkapjuk a szükséges valószínűsége:
Feladat 53. A X valószínűségi változó normális eloszlású. Az elvárás az M (X) = 5; diszperziós D (X) = 0,64. Annak a valószínűsége, hogy az eredmény a vizsgálatok kerül a tartományba eső értéket (4,7).
Határozat. Ha az X valószínűségi változó beállítása eltérés-függvény F (X). a valószínűsége, hogy x értéke tartozó intervallum (A, B), amely ki volt számítva az alábbi képlet szerint
Ha X értéke normális eloszlású, akkor
Ahol A = M (X). A hipotézis, S = 5 ,, A = 4, és B = 7. Behelyettesítve ezeket az adatokat (6), megkapjuk
Feladat 54. Úgy véljük, hogy a hossza az eltérés a standard gyártott alkatrészeket egy valószínűségi változó elosztott rendesen. Standard hossz (elvárás) A = 40 cm, a standard deviáció S = 0,4 cm. Find valószínűségét, hogy az eltérés a standard hossz lesz az abszolút értéke nem több, mint 0,6 cm.
Határozat. Ha X - a hossza a terméket, akkor a feltétel a probléma, ez az érték legyen a tartományban (A-D, és a + D), ahol A = 40 és D = 0,6. Behelyettesítve a (6) A = a-D és B = a + D. megkapjuk
Behelyettesítve a (7) A rendelkezésre álló adatok azt kapjuk,
Tehát annak a valószínűsége, hogy a gyártási részleteket a hossza lesz a tartományban 39,4-40,6 cm 0,8664.