Lineáris függés és rangot a mátrix

Lineáris függés és rangot a mátrix.

Rendszer vektorok ugyanabban a sorrendben nevezzük lineárisan függő, ha ezeket a vektorokat egy megfelelő lineáris kombinációja a nulla vektort nyerhetünk. (Ez nem megengedett, hogy minden együttható a lineáris kombináció nullával egyenlő, mivel ez lenne triviális.) Ellenkező esetben a vektorokat nevezik lineárisan független. Például, a következő három vektor:

lineárisan függ, hiszen könnyen ellenőrizhető. Abban az esetben, egy lineáris függvény, bármilyen vektor mindig kifejezhető egy lineáris kombinációja a más vektorok. A mi példánkban: vagy vagy Ezt könnyen ellenőrizni a megfelelő számításokat. Ennélfogva a következő definíció: vektor lineárisan független más vektorok, ha nem lehet képviselt lineáris kombinációjával e vektorok.

Képzeljünk el egy rendszert, vektorok, anélkül, hogy ez lineynozavisimoy vagy lineárisan független. Mindegyik rendszer álló oszlop vektorok egy, azonosítani tudjuk a lehető legnagyobb számú lineárisan független vektor. Ez a szám, amely betűvel jelöljük, és ez a rang a vektor rendszer. Mivel minden egyes mátrixot lehet tekinteni, mint egy olyan rendszer oszlop vektorok, a rangot úgy definiáljuk, mint a maximális száma abban foglalt lineynonezavisimyh oszlopon vektorok. Annak megállapításához, a rangsorban a mátrix és vektor szálakat. Mindkét módszer ugyanazt az eredményt adja ugyanazon mátrix, és nem haladhatja meg a legkisebb a rang vagy rendelje négyzetes mátrix értéke 0 és. Ha minden a vektorok nulla, a rangot ez a mátrix nulla. Ha minden vektorok lineárisan függetlenek egymástól, a rangot a mátrix. Ha a mátrix formájában a vektorok felett rangot ennek a mátrixnak egyenlő 2 Mivel minden egyes két vektor lehet csökkenteni egy harmadik lineáris kombinációjával, a rang kisebb, mint 3.

De biztos lehet benne, hogy bármelyik két közülük vektor lineárisan független, ezért helyezés

Négyzetes mátrix nevezzük degenerált, ha annak oszlop vektorok vagy sorvektorait lineárisan függ. A determinánsa ilyen mátrix értéke nulla, és a fordított mátrix nem létezik, mint fentebb megjegyeztük. Ezek az eredmények megegyeznek egymással. Következésképpen, a négyzetes mátrix nevezzük nem degenerált vagy nonsingular ha oszlop vektorok és sorvektorait függetlenek egymástól. A meghatározó egy ilyen mátrix nem egyenlő nullával, és az inverz mátrix létezik (hasonlítsuk össze p. 43)

A rangsorban a mátrix nyilvánvaló geometriai értelmezést. Ha a rang egyenlő, akkor azt mondjuk, hogy a háromdimenziós térben kifeszített vektorok által. Ha a rangját a vektorok rejlenek dimenziós altér, ami mindegyik tartalmaz. Tehát a rang megegyezik a minimálisan szükséges dimenziója a tér „amely tartalmazza az összes vektor” n-dimenziós altér az n-dimenziós térben úgynevezett dimenziós hipersíkot. A rangsorban a mátrix megegyezik a legkisebb méret hipers'ık, amely még mindig ott hevert a vektorok.

Ortogonalitása. Két a és b vektorok nevezik egymásra merőleges, ha skaláris szorzata nulla. Ha a sorrendben a mátrix-egyenlettel tart, ahol D - diagonális mátrix, az oszlop vektorok A mátrix páronként kölcsönösen ortogonálisak. Ha az oszlop vektorok normalizált, azaz a. E. vezet hossza egyenlő 1, akkor az egyenlőség és beszélnek ortonormált vektorok. Ha B - négyzetes mátrix, valamint az egyenlő a mátrixban az úgynevezett merőleges. Ebben az esetben, a képlet (1,22), hogy az ortogonális mátrix mindig degenerálódik. Ennélfogva, a ortogonális mátrix lineárisan független az sorvektorait vagy oszlop vektorok. Az ellenkezője nem igaz: a lineáris függetlenség vektorok ne legyen páronként ortogonalitása vektorok.