véletlen események
Valószínűségszámítás - matematikai tudomány törvényszerűségeit kutató tömeges véletlen jelenségek (események).
Véletlen esemény (esemény) bármilyen jelenség, ami lehet, hogy nem fordulhat elő, ha a végrehajtási egy bizonyos meghatározott körülmények között. valószínűségszámítás foglalkozik az események, amelyek tömeges jellegű. Ez azt jelenti, hogy azoknak a feltételeknek a korlátlan számú alkalommal lehet lejátszani. Minden ilyen végrehajtásának feltételrendszer hívják fel a vizsgálat (vagy tapasztalat).
Például, ha a vizsgálatot a dobott egy érmét, a veszteség a jelkép olyan esemény; ha a teszt - a termelés az ilyen típusú csapágy, csapágy megfelelőség - egy esemény; ha a teszt - .. dobott kocka, azaz egy kocka, az arcán viselő számok (pont) 1-6, a veszteség öt - esemény.
Események fogjuk jelölni tőke latin betűkkel: A. B. C.
Tegyük fel, hogy az n esemény Egy teszt m alkalommal megjelent.
Az arány m / n úgynevezett gyakoriság (relatív gyakoriság) az esemény A és jelöljük P * (A) = m / n
A tapasztalat azt mutatja, hogy az ismételt vizsgálati frekvencia P * (A) jelentése egy véletlen esemény rezisztens. Hadd magyarázzuk ezt egy példa.
Az esemény az úgynevezett hiteles. ha szükséges ezt a tesztet kell bekövetkeznie; Ezzel szemben, nazyvaetsyanevozmozhnym esemény. ha egy adott kísérlet nem fordul elő.
Tegyük fel például, egy urn, amely csak a fekete golyó, a labda eltávolítjuk. Ezután a megjelenése a fekete golyót - egy bizonyos esemény; a megjelenése egy fehér golyó - lehetetlen esemény.
Ha az esemény biztosan ez fog történni minden teszt (m = n). Ezért a frekvencia egy bizonyos esemény mindig egy. Épp ellenkezőleg, ha ez lehetetlen esemény, akkor nem az egyik vizsgálatban nem valósult (m = 0). Következésképpen az esetek gyakorisága lehetetlen minden tesztsorozat nulla. Ezért a valószínűsége, hogy egy bizonyos esemény egyenlő, és az a valószínűsége, hogy a lehetetlen esemény nulla.
Ha az esemény egy sem megbízhatóak és nem lehetetlen, hogy m / n frekvencia nagyszámú vizsgálatok alig különböznek egy bizonyos számú p (ahol 0
Kombinálása (vagy termék) két A és B események az az esemény, amely egy közös megközelítés az események és fejlemények A. B. Ezt az eseményt jelöljük AB vagy BA.
Hasonlóképpen, a kombinálásával számos esemény, mint például A. B és C az úgynevezett esemény D = ABC. álló együttes előfordulása események A. B és C.
Association (vagy összege) két A és B események jelentése S. álló esemény fordul elő, hogy legalább az egyik az események A vagy B Ezt az eseményt a következőképpen jelöljük: C = A + B
Ötvözi több esemény az úgynevezett esemény, amely a megjelenése legalább az egyiket. Record D = A + B + C azt jelenti, hogy az esemény az Unió az események D A. és C.
Két A és B események állítólag összeegyeztethetetlen, ha a az esemény bekövetkezése A kizárja az esemény bekövetkezése B. Ez azt jelenti, hogy ha az A és B események egymást kölcsönösen kizáró, az AB esemény - lehetetlen.
Tekintsük a következő példát. Mi lesz nyomon követni a mozgását sem gázmolekula zárva egy bizonyos hangerő. Ezen belül a hangerő, és válassza ki a kötetet. részben átfedő egymást (ábra. 1). Hagyja, hogy a rendezvény A - hit molekulák térfogata. Az esemény - hit molekulák térfogata. Regisztráció A és B események találatot általános részében a molekula és a kötetek. Ha az összegeket, és nincs közös pontja, akkor egyértelmű, hogy az A és B események egymást kölcsönösen kizárják egymást. Egyesület és B események a hit vagy a molekula csak abban a mértékben, vagy csak a kötetben. vagy ezek közös része.
Hagyja, A és B - két egymást kizáró események, és az n vizsgálatok esetén egy megtörtént m1-szer, és az esemény zajlott m2 alkalommal. Ezután az esetek gyakorisága az A és B rendre egyenlő p * (a) = m1 / n. P * (B) = m2 / n. Mivel az A és B események egymást kölcsönösen kizáró, akkor az esemény az A + B történt m1 + m2 időt ebben a kísérletsorozatban. ezért
Így, a frekvencia az esemény A + B összegével egyenlő a frekvenciák események A és B Azonban magas frekvenciákon n P * (A). P * (B) és P * (A + B) alig különböznek a megfelelő valószínűségi P (A). P (B) és a P (A + B). Ezért természetes feltételezni, hogy ha az A és B - inkompatibilis esemény, akkor P (A + B) = P (A) + P (B)
A fentiekből adódik az alábbi tulajdonságai valószínűsége, hogy elfogadjuk a axiómák.
Axiom 1. Minden véletlen esemény A megfelel egy bizonyos számú P (A), az úgynevezett a valószínűsége és kielégítő.
Axiom 2.Veroyatnost bizonyos esemény egyenlő eggyel.
Axióma 3 (hozzáadása valószínűségek axióma). Hagyja, A és B - összeegyeztethetetlen eseményeket. Akkor annak a valószínűsége, hogy mi fog történni, legalább egy két esemény egyenlő összegével valószínűségek:
Minden téma ebben a szakaszban:
Feltételes valószínűség. tétel szorzata valószínűségek.
Sok probléma van, hogy megtalálják a valószínűsége, hogy a kereszteződésekben a A és B események, ha tudod, hogy a valószínűségek az események és B Tekintsük a következő példát. Let dobott stb
A képlet a teljes valószínűség.
Legyen az esemény csak akkor következik be az egyik egymást kizáró események H1, H2. Hn, amely egy teljes csoportot. Aztán, ha van egy olyan esemény volt az A,
A vizsgálat menete. FORMULA Bernoulli.
Tegyük fel, hogy n független elvégzett vizsgálatokat, ennek eredményeként, amelyek mindegyike lehet vagy nem fordulhat elő olyan esemény A. Tegyük fel, hogy minden egyes kísérlethez a valószínűsége az amerikai
A diszkrét valószínűségi változók.
Tekintsük a véletlen változó *. lehetséges értékek amelyek véges vagy végtelen posl
Az eloszlásfüggvény valószínűségi változó és annak tulajdonságait.
Tekintsük az f (x) meghatározása az egész valós tengelye a következő: minden egyes X értékhez F (x) annak a valószínűsége, hogy egy diszkrét valószínűségi változó
Egyenletes eloszlású.
Legyen szegmens [a, b] Ox tengely skálán a készüléket. Tegyük fel, hogy a valószínűsége, hogy egy mutatót egy szegmensét a skála arányos a hossza ebben a szegmensben nem függ m
Normális eloszlás.
Azt mondják, hogy a véletlen változó normális eloszlású, vagy a forgalmazás feltétele, hogy a törvény
A kétdimenziós valószínűségi változók.
Gyakran van szükség, hogy megoldja a problémákat, amelyek érintik az események nem egy, hanem több - különösen a két véletlen változó. Tehát, ha a gép-gép bélyegek hengeres szigetek
A matematikai elvárás egy véletlenszerű változó, és annak tulajdonságait.
Nézzük először a következő példát. Hagyja, hogy a növény kapott egy tételt tartalmaz N csapágyak. Ebben az esetben a: m1 - száma csapágyak külső átmérőjű x1
Lineáris függvények valószínűségi változók.
Let - normális eloszlású valószínűségi változó paraméterek
Lemma Chebyshev.
Ebben a részben belátjuk az alábbi két lemma tartozó Chebyshev * 1. Lemma Legyen
Chebyshev nagy számok törvénye.
A következő állítás teljesül. Let - sorozata páronként független véletlen
Bernoulli nagy számok törvénye.
Legyen egy szekvenciát független elvégzett vizsgálatokat, ennek eredményeként, amelyek mindegyike lehet vagy nem fordulhat elő esemény Egy, a valószínűsége, hogy ez az esemény egy, és így tovább
Ljapunov-tétel.
Gyakran kell kezelni az ilyen véletlen változó, amely az összeg a nagy számú független valószínűségi változók. Bizonyos nagyon általános feltételek, úgy tűnik, hogy ez az összeg IME
A alaptörvénye hibákat.
Amikor mérést végez, akkor az eredmény befolyásolja a számos tényező, hogy ad okot a mérési hibákat. Mérési hibák túlnyomórészt csak három csoportra oszthatók: 1)
Meghatározása egy ismeretlen eloszlásfüggvényt.
Tegyük fel, hogy van dolgunk folytonos valószínűségi változók. értékek kaptuk megfigyelések. Ra
Meghatározása az ismeretlen paramétereket a forgalmazás.
C a hisztogram akkor nagyjából a telek eloszlása véletlenszerű változó sűrűségű
Elemzés a lineáris korreláció a kísérleti adatok.
Egyik feladata a matematikai statisztika, hogy tanulmányozza a korreláció véletlen változók. Legyen n végzett kísérletek, amelynek eredményeként a következő értékeket kaptuk