utáni osztályok, diszkrét matematika
Behelyettesítve a0 + a1 x + a2 1-től 4 egyenlet rendszer, van:
Hozzáadása az első három egyenletet, és megjegyezve, hogy x + x = 0, megkapjuk 0 = a0 + a0 = 0 ⇒ 1.
Behelyettesítve 1. egyenlet eredménye értékek a0 és a3. Kapunk 0 + 1 = a2 + 1, vagy 1 + 1 = A2, A2 = 0 ahol.
Behelyettesítve az értékek a0 és a3 2. egyenlet, kapjuk:
Ily módon, g (x, y, z) = 0 + + 1⋅h 0⋅u + 1⋅z = x + z.
Ennek alapján ezt a képletet, azt találjuk, a függvény értékei g azokban készletek, amelyen még nem határozták meg: g (0,0,0) = 0 + 0 = 0; g (0,0,1) = 0 + 1 = 1; g (0,1,0) = 0 + 0 = 0; g (1,0,0) = 1 + 0 = 1.
Ennek eredményeként, van: g (x, y, z) = (01.011.010).
Mi kiterjeszteni a h függvény segítségével meghatározását önduális funkciókat. Mivel készletek (0,0,0) és (1,1,1) átellenes és h (0,0,0) = 1 ⇒ H (1,1,1) = 0.
Ellentétes párjainak az értékeinek halmazai közül a változók jelentése (0,0,1) és (1,1,0 részt), (0,1,0) és (1,0,1), (0,1,1) és (1 0.0).
Az ismert függvény értékei h, megkapjuk:
h (0,0,1) = h (1,1,0 részt) = 1 = 0, H (1,0,1) = h (0,1,0) = 1 = 0.
Így, h (x, y, z) = (10.101.010).
1. Lehet az f (x, y, z) keresztül superpositions kapjuk g (x, y, z)?
2. Igaz, hogy az f (x, y, z) ∈ [g]. ([G] - minőségű lezárás).
Mi ellenőrzi f (x, y, z), hogy tartozik a Post osztályok.
(0,0,0) ⪯ (0,0,1) és f (0,0,0)> f (0,0,1) ⇒ f ∉ M;
(0,0,1) és (1,1,0 részt) - szembenálló készletek
f (0,0,1) = f (1,1,0 részt) ⇒ f ∉ S;
f (x, y, z) = (x + 1) (y + 1) (Z + 1) + (x + 1) yz + x (y + 1) Z =
= 1 + x + y + z + xy + xz + yz + XYZ + XYZ + yz + XYZ + xz =
= 1 + x + y + z + xy + XYZ.
Mivel a polinom függvények f összefüggésben jelen, akkor f ∉ L.
Látjuk tehát, hogy az f (x, y, z) nem tartozik semmilyen osztályok nagyböjt ezért a rendszer funkcionálisan teljes, és a szuperpozíció f lehet kapni olyan logikai funkció, különösen, g (x, y, z).
Az érték ellenőrzése a függvény g (x, y, z) minden pár átellenes készletek, látjuk:
g (0,0,0) = 1 = g (1,1,1). g (0,0,1) = 0 = g (1,1,0 részt),
g (0,1,0) = 1 = g (1,0,1). g (0,1,1) = 1 = g (1,0,0).
Mivel az S - funkcionálisan zárt osztály, majd a [g] ⊆ S, de f ∉ S, akkor, f ∉ [g].
Az F (x, y, z) és g (x, y, z) a kérdés tisztázása azok osztályba tartozó T0. T1. L, S, M
Ha egy függvény egy funkcionálisan komplett osztály, kifejezni belőle keresztül superpositions állandója 0,1, és a tagadás összefüggésben xy.
Ha egy függvény egy funkciókban teljes a gyenge értelemben egy osztály az ő kifejezett szuperpozíció és rögzítése a változók tagadás és együtt xy.
A kapott eredményeket ellenőrizni megszerkesztésével táblázatokat.
1. vizsgálja az f (x, y, z). Mi ellenőrzi f (x, y, z), hogy tartozik a Post osztályok.
Megjegyezzük, hogy ez azt jelenti, hogy nem funkcionálisan teljes osztályban.
Mivel készletek (0,0,0) és (1,1,1) átellenes és f (0,0,0) = f (1,1,1), akkor f ∉ S.
Van, hogy a (0,1,0) ⪯ (0,1,1), de f (0,1,0)> f (0,1,1), akkor, f ∉ M.
Azt találjuk, polinom f (x, y, z):
= Xyz + xy + yz + y + XYZ + xy + xz + x = XZ + yz + x + y.
Mivel a polinom függvények f tartalmaz a összefüggésben, akkor f ∉ L.
Mint már korábban említettük, nem funkcionálisan teljes osztály, hanem egy f függvény nem lineáris és monoton - funkcionálisan teljes a gyenge értelemben osztályban.
Fejezzük tagadásával f útján rögzítő változó. A szomszédos készletek (0,1,0) és (0,1,1) sérül monotonitási, úgy a függvény p (x) = f (0,1, x).
Találunk összes értéke p (x):
p (0) = f (0,1,0) = 1, p (1) = f (0,1,1) = 0 ⇒ P (x) = x.
Negation épített, x = f (0,1, x).
A konstrukció egy összefüggésben rögzíteni egy variábilis és újracímkézni a további változók, úgy, hogy vette a forma egy polinom
xy + αx + βy + γ, ahol α, β, γ ∈.
Például, lehetséges, hogy erre: f (1, y, x) = 1⋅h + 1 + xy + y = xy + x + y + 1. Ebben az esetben, α = β = γ = 1.
Vezessük be a függvény h (x, y) = f (1, y + α, x + β) + αβ + γ = f (1, y. X) = = F (1, f (0,1, y), f (0,1, x)).
Keressük az értéke h minden lány készletek.
h (0,0) = f (1, f (0,1,0), F (0,1,0)) = f (1,1,1) = 0;
h (0,1) = f (1 f (0,1,1), F (0,1,0)) = f (1,0,1) = 0;
h (1,0) = f (1, f (0,1,0), F (0,1,1)) = f (1,1,0 részt) = 0;
h (1,1) = f (1, f (0,1,1), F (0,1,1)) = f (1,0,0) = 1.
Amint látjuk, a táblázat függvény h (x, y) egybeesik a összefüggésben táblázat ezért h⋅u = f (1, f (0,1, y), F (0,1, x)).
2. vizsgálja g (x, y, z), hogy tartozik a Post osztályok.
Készletek (1,0,1) és (0,1,0) átellenes és g (1,0,1) = g (0,1,0) ⇒ g ∉ S.
Mivel (0,0,0) ⪯ (0,0,1), de g (0,0,0)> g (0,0,1) ⇒ g ∉ M.
Azt találjuk, polinom g (x, y, z):
g (x, y, z) = (x + 1) (y + 1) (x + 1) + (x + 1) yz + xy (z + 1) =
= Xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1 + XYZ + yz + XYZ + xy =
= 1 + x + y + z + xz + XYZ.
Mivel a polinom függvény G tartalmaz együtt, akkor g ∉ L.
Így g függvény nem tartozik mind az öt osztály a poszt, az azt jelenti, hogy úgy működik, mint egy teljes osztályt.
Expressz tagadása g segítségével puszta egymásra. Tekintsük az S (X) = g (x, x, x).
Találd meg az összes függvény értékei s (x):
s (0) = g (0,0,0) = 1, s (1) = g (1,1,1) = 0 ⇒ s (x) = x
Negation épített, x = g (x, x, x).
Épület egy állandó 0. Ehhez veszünk egy sor pár egymással szemben beállított, amelyen a függvényt g értéke 0, például a (1,0,1), és megvizsgálja a G (x): (x) = g (x 1. x 0. x 1) = g (x, x. x) = g (x, g (x, x, x) x).
Keressük az értéket a függvény (x) rá készletek.
o (0) = g (0, g (0,0,0), 0) = g (0,1,0) = 0;
o (1) = g (1, g (1, g (1,1,1) 1) = g (1,0,1) = 0.
Constant épített 0, g (x, g (x, x, x), X) = 0.
A konstrukció a konstans 1 veszi a tagadása a funkció v (x), és jelöljük az így kapott függvény: f (x).
Tehát koystanta 1 kaptunk,
A konstrukció összefüggésben rögzíteni z változó, így ez az értéke 1.
Mi kapjuk: g (x, y, 1) = 1 + x + y + 1 + x⋅1 + xy⋅1 = xy + y + 1, azaz, van egy kifejezés formájában xy + + αh βu + gamma, ahol .. α = γ = 0, β = 1.
Tekintsük az k (x, y) = g (x + β, y + α, 1) + αβ + γ =
= G (x + 1, y, 1) + 0⋅l + 0 = g (g (x, x, x), y, 1) =
Keressük a függvény értékét annak minden készletek.
k (0,0) = g (g (0,0,0), 0, g (G0, g (0,0,0), 0x g (0, g (0,0,0), 0) g (0, g (0,0,0), 0))) =
= G (1,0, g (g (0,1,0), g (0,1,0), g (0,1,0)) = g (1,0,0) = 0;
Amint látható, a táblázat függvény h (x, y) egybeesik a összefüggésben táblázat ezért
Számítsuk ki a számos különböző Boole-függvények n-változós tartozó egy adott beállított A.
Példa 1. Számítsuk ki a több különálló Boole-függvények n tartozó változók a beállított L \ (T0 ∩S).
Jelölje L (n). T (n) 0 S (n), illetve több lineáris megőrzése nulla és önduális funkcióit N változók.
Az árnyékolt terület megfelel a funkciók a kívánt osztályban. Nyilvánvaló, hogy az egyenlőség:
| L (n) \ (T (n) 0 ∩S (n)) | = | L (n) | - | L (n) ∩T (n) 0 ∩S (n) |
Ahol minden egyes ilyen funkciója bináris vektorba annak együtthatók (A0. A1. A0. A0). Nyilvánvaló, hogy ez a sor - bijekciót, akkor a számos különböző lineáris függvények n változók száma egyenlő a különböző csoportjainak bináris dimenzió n + 1, azaz 2 n + 1, ezért | L (n) | = 2 n + 1.
Ha a lineáris függvény fenntartja a konstans 0, a0 + a1 + a0 ⋅ ⋅ 0 + 0. AN + ⋅ 0 = 0 ⇒ a0 = 0, és azt a formáját a1 X1 + A2 x2 +. AN + xn. A self-kettős funkciót hajtjuk végre tulajdonság az f (x 1 x n) = f (x1. Xn). Tekintettel arra, hogy x = x + 1, lássuk, hogyan fog kinézni ez az egyenlet lineáris, nulla megőrzése funkciók:
Add modulo 2 mindkét oldalán a kapott egyenlőség kifejezést a1 x1 + x2 + a2. AN + xn. figyelembe vesszük, hogy x + x = 0. Ekkor, miután egyszerűsítések van: A1 + A1 +. = 1 + a1. (*)
Az együtthatók a1. a1. AN lehet tetszőlegesen hozzárendelni n-1 arány, és értéke n-edik együtthatót egyedileg határozzuk egyenletből (*). Tehát, a készlet Boole-függvények az osztály L (n) ∩T (n) 0 ∩S (n) és a sor bináris vektorok dimenziója n-1 van bijekciót, akkor az egyenlőség | L (n) ∩T (n) 0 ∩S (n) | = 2 n-1.
Ennek eredményeképpen megkapjuk:
| L (n) \ T (n) 0 ∩ S (n)) | = | L (n) | - | L (n) ∩ T (n) 0 ∩ S (n) | = 2 n + 1 - 2 n-1 = 2 n-1 (4-1) = 3⋅2 n-1.
Példa 2. Számítsuk ki a számos különböző Boole-függvények n tartozó változók a beállított S ∪ T 1.
Jelölje S (n) és a T (n) 1, illetve, és több önduális funkcióinak megőrzése egység N változók.
Ábrázolják készletek S (n) és a T (n) 1 (ábra. 2.4.4, b).
| S (n) ∪ T (n) 1 | = | S (n) | + | T (n) 1 | - | S (n) ∩ T (n) 1 |.
Legyen f ∈ S (n). g ∈ T (n) 1. h ∈ S (n) ∩T (n) 1. táblázat ábrázolják ezeket a funkciókat.