Set Operations - studopediya
Ha U - egy univerzális halmaz és AÍ U, akkor a különbség U \ A nevezik kiegészítője A halmaz, hogy az U és nevezzük.
A megfelelő Euler Venn-diagram:
Szimmetrikus különbség A és B jelentése a beállított jelöljük ADV és álló e, és csak azokat az elemeket, amelyek tartoznak \ B és B \ A.
A megfelelő Euler Venn-diagram:
Átalakítás a bal oldalon a személyazonosságát.
Így bizonyult hű az identitás.
2. példa: Bizonyítsuk az identitás: létrehozása kettős és bizonyítani.
Igazolása érvényességét a kettős egyenlőség és az egyenlő diagramok-hez, hogy végre a saját.
Itt van a bizonyíték érvényességét ez az egyenlőség átalakításával (a bizonyítás a kettős magatartás magad):
3. példa: Bizonyítsuk az identitás:
Átalakítás a jobb oldalon az identitás:
5. tétel számának részhalmazainak véges.
Tekintsük az A = ahol | A | = 3, és több V, ahol a | B | = 4.
Forma különböző halmaz részhalmazainak A:
Összesen kapott 8 részhalmaza.
Alkotunk minden lehetséges részhalmazainak B:
Kaptunk 16 részhalmaza.
Az eredményeket a fenti példákban, akkor feltételezhető, érvényességét a következő egyenlőség: n = 2 m. ahol n - száma részhalmazainak egy adott véges halmaz, m - számossága.
A feltevések érvényességét bizonyítja a tételt, feltesszük bizonyíték nélkül.
Tétel: Ha r egyenlő, a száma az összes részhalmazainak egy adott készlet, jele P (A) jelentése egy véges halmaz és annak kapacitása egyenlő 2 m.
Példa: Számítsuk ki a részhalmazok M - száma elválasztó 20.
Mi képezik az M halmaz és megtalálja a teljesítmény:
= M. Power | M | = 6, akkor a száma részhalmazok egyenlő P (M) = 2 6 = 64.
6. A felvétel-kizárási elv.
Most azt az alkalmazást műveletek a forgatáson, meg kell oldani a problémát találni az elemek számát a set-készletek, van több feltételeket. Az alábbiakban tekintett versenyen csak véges készletek.
Példa: Egy osztályban 30 diák közül 16 részt vesznek a zene, a 17 rabja a tenisz és a 10 részt és a zene, és a tenisz. Van egy osztály a diákok, és közömbös, hogy a zene, és a tenisz, és ha igen, mennyi?
Megoldás: .. Ha összeadja a diákok száma érdekel a zene, a diákok száma a tenisz, hogy van, 16 + 17 = 33, a diákok, akik érdeklődnek a zene és a tenisz, akkor kell kétszer számolni. Ezért, hogy meghatározza a hallgatók száma érdekli a zene vagy a tenisz, meg kell összege 16 + 17, vonjuk ki a diákok száma kétszer számolja, azaz a. E. Azok, akik érdeklődnek a zene és a tenisz. Elméletük szerint 10. Így a több érdekelt tenisz vagy múzsa Coy is: 16 + 17-10 = 23, a tanuló. És mivel az osztály csak 30 diák, a 30-23 == 7 diák és közömbös, hogy a zene, és a tenisz.
A probléma megoldása a következő algoritmus: ha van két véges halmazok és B. Ekkor:
N (AÈ V) = N (A) + n (B) - N (AÇ B) (1)
Ebben az esetben egy - több tanulók érdekelt zykoy-edik és N (a) = 16, több tanulók B- érdekelt tenisz, és n (B) = 17, N (AÇB) = 10, majd kapott képlete N (AUV) = 16 + 17-10 = 23.
Bonyolítja a feladat: hagyja azokat, akik érdeklődnek a zenei osztály - meghatározott A, és azoknak, aki élvezi tenisz - set B, adunk azoknak is, akik érdeklődnek teatrom- meghatározott C. Hány diák érdeklődését, vagy zenével, tenisz, vagy színházi, t. e., amely egyenlő az n szám
Ha a készletek az A, B és C metszik csak párban, azaz a. E.ÇazÇC =Æ, Száma végezhetjük, mint korábban: Snachev la hajtogatott elem (A) + F (V) + F (C), majd vonjuk ki a számát ezen elemek, rendőrök, amelyeket kétszer számolja, azaz vonjuk száma n + .. N (AÇ C) + n (BÇ C). Ha A halmazÇazÇS¹Æ,. annak elemei megjelent eltünt: első három venni, amikor hajtogatott n (k> P + (B) + n (C), majd háromszor kirabolták őket, kivonva n + n (AÇ C) + n (BÇ C).
Így az időben a száma,
kevésbé pontosan igaz eredményt az elemek számát az újbóli metszete készlet AÇazÇEzzel és hozzá kell adni a sugárzás a helyes eredményt:
Egy hasonló képletet nyerhető tetszőleges számú készletek.
A képletekben (1) és (2) számítjuk, hogy hányszor minden tétel tartalmazza, és kizárt, ezért ezek az úgynevezett elülső öszvérek zárványok és kizárások.
Tekintsük több példát képletek kapunk.
1. példa: A felvételi vizsga matematikából kínáltak három feladatot: algebra, geometria és szilárd sík geometria. Az 1000 diák a feladatot algebra döntött 800 síkgeometria - 700 és szilárd geometria - 600 pályázók. Ebben az esetben az a feladata, algebra és síkgeometria válaszd 600 felperesek algebra és geometria, szilárd - 500, a síkgeometria és szilárd geometria - 400. Mindhárom cél úgy döntött, 300 belépők. Susche létezik-e a felperesek nem döntött semmilyen problémát, és ha igen, mennyi?
Határozat. Hagyja, hogy a U - állítsa az összes belépő, A -. sok diák úgy dönt, hogy problémák algebra, a - sok diák, aki úgy döntött, hogy a feladatot síkgeometria, C - sok diák, akik úgy döntöttek, hogy megbízzák szilárd geometria. A hipotézis, n (U) = 1000, n (A) = 800, n (V) = 700, n (C) = 600, n (AÇB) = 600, n (AÇC) = 500, n (BÇC) = 400, n (AÇBÇC) = 300. A halmazÇBÇC tartalmazza az összes pályázók, akik úgy döntenek, hogy ho-cha, hogy egy feladat. A képlet szerint (2) van:
N (A U B U C) == 800 + 700 + 600 - 600 - 500-400 + 300 = 900.
Ebből következik, hogy nem az összes bejövő úgy döntött, hogy legalább az egyik probléma. Nem probléma nem oldódott meg
n (U) - N (AUBUC) = 1000-900 100 == (kérelmezők).
2. példa: Pollsters megkérdezett 45 hallgató az osztály a kilencedik-baglyok, amelyek közül 25 a fiúk. Ebben az esetben kiderült, hogy 30 ember féléves értékelését a 4. és 5., köztük 16 a fiúk, a sport részt 28 diák, köztük 18 fiú és 17 tanuló, teljesítők csak jó vagy kiváló, 15 fiatal férfiak tanulni jó és kiváló és sportolni . Az első osztályú matematikus nézett az eredményeket, és azt mondta, hogy hiba van. Hogyan lehetséges, hogy megtudja?
Megoldás: Legyen A halmaza fiatalok a - több teljesítők 4 és 5, C - több sportolók. A probléma állapota n (A) = 25, n (V) = 30, N (C) = 28, N (AÇB) = 16, N (AÇC) = 18, N (BÇC) = 17, N (AÇBÇC) = 15. Keressük a közös Num lo diákok, akik vagy fiú, vagy sportolni, vagy idő a 4. és 5. A képlet szerint (2) -be:
N (A UBUC) = 25 + 30 + 28- 16- 18- 17 + 15 = 47. Ez nem lehet, amint azt vizsgálták, összesen 45 versenyző! Ezért ezekben az adatokat talál hibát.
Ábra oldatot szemlélteti diagram Euler - Venn.
A metszéspontja a halmazok A, B és C feletti-levelet a szám 15, mivel a feltétel n (AÇBÇC) = 15. A set-készletek AÇB \ C írási száma 16-15 = 1, a B halmazÇC \ A - száma 18-15 = 3, a B halmazÇC \ A-szám 17-15 = 2, A halmaz \ (BÈC) - a száma 25- (1 + 15 + 3) = 6, a beállított B \ (A ÈC) - a száma 30- (1 + 15 + 2) = 12, a set-ve C \ (AÈB) - a száma 28- (3 + 15 + 2) = 8. Ahhoz, hogy megtalálja N (AÈazÈC) hajtogatott elegendő számú elszámolni azok megfelelnek-készletek nem metszik a-harc. Szerezd meg a 47-> 45, ami lehetetlenné feltétele a problémát.
Feladatok az önálló döntési
1. Ismertesse több M pont a síkon: a); b); c).
2. Tekintettel a készlet. Construct sokaságát ((ADV)È(B \ C)). Keresse meg a számát alcsoportok épített készlet. Itt található a megfelelő diagram Euler - Venn.
3. Bizonyítsuk be Euler rajzok - Venn igazságosság abszorpciós törvény.
4. A személyazonosság igazolásának segítségével diagramokat és transzformációk:
5. A dolgozók száma az Intézet főosztályvezetője. Mindegyikük tudja, legalább egy idegen nyelvet, és a 6. beszélnek németül, 6 - Angol 7 - Francia 4 - angol és német, 3 - német és francia, 2 - angol és francia, 1 - mindhárom nyelven. Hányan dolgoznak az osztályon? Hányan tudják, csak angolul?
6. A 35 diák vesz részt 20-as osztály matematika kör, 11 - Fizika 10 - nem megy a klubok. Hány diák vesz részt a matematikai és fizikai körökben ugyanakkor, hogy mennyi - csak a matematika?
1. Ismertesse a fogalom a készlet. Számos példa. Hogyan jelöli a készletek és azok elemei?
2. Melyek a különböző módjait meghatározó készlet?
3. Egy sor jellegzetes tulajdonságai a véges végtelen megszámlálhatatlan, megszámlálható végtelen és az üres halmaz.
4. Hogyan eleme tartozó szettet, és nem tartoznak?
5. Milyen a kapcsolat a két?
6. List meghatározott üzemeltetők csökkentése megfelelő Euler rajzok - Venn.
7. Sorolja fel a kilétét készletek.
8. állam a tétel számának részhalmazainak véges.
9. Record az elemek száma a képletben két vagy három.