projektív geometria
projektív geometria
Régóta ábrázolják a festmények a művészek perspektíva segítségével átlépett vonalak a horizonton. Az egyik nagy szakaszai a történelem geometria kezdődött, amikor a francia matematikus és építész G. Desargues (1593-1662) úgy döntött, hogy ezeket a gondolatokat a művészek pontos matematikai értelmében. Azt javasolta, hogy adjunk a szokásos végpontjait a síkon további pontokat a végtelenben, ahol a párhuzamos vonalak metszik egymást. Pont a végtelenben nevezzük helytelen vagy ideális, hogy megkülönböztesse őket az igazi pont. De aztán Desargues hívják a lehető leghamarabb elfelejteni ezt a megkülönböztetést, azt állítva, hogy csak lehet használni a figyelmet a végtelenül távoli pont.
Hány pontot végtelenben hozzá kell adni a gépet? Ez természetes lenne azt feltételezni, hogy az összes, egymással párhuzamos vonalak metszik egymást egy pontban végtelenben, és meg kell adni, hogy a pontok ezeket a sorokat. A lényeg az volt, hogy kitalálni, hogy mindezek a pontok különböző irányokba egyenes kitölteni egy sort a végtelenben, mely a művészek festményei látképét. A kapott sík úgynevezett kiterjesztett vagy projektív.
Az euklideszi geometria, a relatív pozíciója a pontok és vonalak szabályozza két állítás: két különböző ponton áthalad egy egyedi tétel, és két különálló, vagy metszik egymást egy pontban, vagy párhuzamos. A meghosszabbított sík, ezek a kijelentések könnyebbé válik, mert bármely két egyenes metszéspontjában van, és a különböző tulajdonságait párhuzamos vonalak átalakítják adott esetben az állítólagos metsző egyenesek. Tegyük fel például, hogy van két pont: az egyik - a végleges, és a többi - végtelen. Annak beállításához, elég a bármilyen közvetlen, amelyik (összes párhuzamos vonalak metszik egymást). Ezután az állítást, hogy keresztül-halad, sőt, az egyetlen közvetlen, amely azonos az egy pont nem, van egy egyedülálló párhuzamos vonal. Nézzünk néhány ilyen helyzeteket, könnyen elkészíthető, nagyon kényelmes, hogy vállalja a párhuzamosság a magán átkelés esemény.
Ezekben érvek, erősen megoszlanak a véges és a végtelen pont. Törléséhez ezeket a különbségeket, Desargues ajánlatok következőkkel érvelnek. Különböző síkokban a háromdimenziós térben a képek tartják ugyanazon a síkon, és a képeket a következő síkok képest a központi vetítés. Nevezetesen, egy fix pontot a térben (1. ábra); pont a síkban és a sík tekinthető megfelelnek egymásnak (a képek ugyanazon a ponton a különböző „jelenetek”), és ha igen, hazugság áthaladó egyenes vonal. Tehát ha van egy bizonyos értéknél, a lo pontok össze vannak kötve, egyenes vonalak, és ezek a vonalak metszéspontjában a gépet fog kitalálni megfelelő (ún központi vetítés a pont az ábrán). Ez a fajta átalakulás számok már korábban megjelent az építési képeket.
„A fő gondolata ez a tiszta geometria született a vágy, a reneszánsz művészek, hogy hozzon létre egy” vizuális „geometria. Hogy állnak a dolgok a valóságban, és hogyan lehet megjeleníteni a gépet?”. S. G. Guld
Vegye szemügyre közelebbről még inkább a feltörekvő átalakulás. Előfordulhat, hogy a összekötő vonal pont arra a pontra, hogy síkjával párhuzamosan, és ennek eredményeként egy pont a síkon nem fér semmi értelme. Desargues venné, hogy így, akkor ez a pont a végtelenben a (a kép a „elment a végtelenbe”). Ha kiad egy párhuzamos síkban, a kereszteződés az egyenes sor, ami figyelembe véve a fenti természetesen helyezték levelezést a gépen vonal a végtelenben. Ha a másik kezével tartsa a pontot a párhuzamos síkban, amikor a kereszteződés, hogy egyenesen arra a pontra, ahol a design nem adja át a végső pont a síkon, és azt feltételezik, hogy mozog a vonal a végtelenben síkban. Így szerint Desargues, ugyanezeket a számokat ábrázolják eltérően különböző síkokban a térben. Különösen egy és ugyanazon a vonalon azonos síkban elé kerül nekünk, mint egy végtelen, a másik pedig véget. Tehát, ha nem akarjuk, hogy pont néhány festmény eltűnt, míg mások merült fel a semmiből, akkor figyelembe kell venni a kiterjesztés (projektív) síkon.
Annak érdekében, hogy ebből a szempontból a munka, meg kell, hogy megtudja, hogy a különböző képek az azonos tárgyat. Egyértelmű, hogy a torzítás a központi kiemelkedés nagyon nagy, de vannak benne rejlő különböző kép, legalább néhány hasonlóság? Először is mentett egyenesség: egyenesen egyenes vonalak, metsző vonallal átfedő (párhuzamos speciális eset!). Ügyeljen arra, hogy mennyit kellett volna adnia kivételek itt már nem visz minket végtelenül távoli elemeket.
Csodálatos hiszem Desargues volt az a tény, hogy jelentős geometriai kimutatások, amelyekben csak alkotott metszéspontját. Az alábbi tétel, az ő nevét viseli. Tegyük fel, hogy a háromszögek és egyenes vonalak (ábra. 2) összekötő felső és ,, és, és metszik egy ponton. Ezután a metszéspontja az egyes felek (és és és) fekszenek egy egyenes vonal. Ennek az ellenkezője igaz tétel. A leghíresebb ma igazolást a tétel a Desargues nagyon szép, és a kapcsolódó átmenet annak térbeli változata. Nagyon tanulságos és más logikával. Mivel a tétel csak kölcsönös helyzetének pontok és vonalak alatt marad alappálya, érvényességét a tétel egy kép, akkor is tart más. Más szóval, lehetséges, hogy egy központi kiemelkedés, s ezáltal vált a helyzet különösen egyszerű. Például ha egy pontot végtelen (az érintett felek párhuzamos lesz), megkapjuk az elemi kijelentés könnyű bizonyítani, a hasonlóság háromszögek. Az általános eset akkor érhető el automatikusan!
„A művészek szüksége matematika művészetének. A tanítás a jövőben - ez a tanácsadó, és a kapukat; Enélkül semmi jó nem lehet létrehozni a festmény. " Leonardo da Vinci
„Ábra objektum - egy része a kúp, amely egy egyenes vonalat húzott a művész szeme különböző pontjaira az ábrázolt tárgy.” S. G. Guld
Meg kell jegyezni, hogy a projektív geometria háromszög fogalmát pontosítani kell. Szigorúan véve, szükséges mindenekelőtt, hogy tisztázza a szegmensben. Projektív sort kell elképzelni, mint jelenleg zárva ponton keresztül a végtelenben, és egy pár pont a vonalon meghatározza két szegmens (az euklideszi geometria, szegmens és komplementere - egy pár sugarak). Mint mindig, ellenőrizze a helyességét a meghatározás útján történik a központi kiemelkedés. Nyilvánvaló, hogy ha a pontok mozognak, és minden pont a szegmens a végtelenbe a tervezés, a kapcsolókat a design a külső a szegmensben, azaz Valóban, szegmensek és megjelenésük nem tudja megkülönböztetni a projektív geometria. Ennek megfelelően a három pontot a projektív síkon (nem fekszenek egy sorban) meghatározza a négy háromszög. Ahhoz azonban, hogy a tétel a Desargues elengedhetetlen, mert valóban szerepelt csak a felső és az egyenes, ami hazugság oldalán.
Megbeszéltük a helyzet a relatív helyzetét pontok és vonalak a projektív geometria. És mi a helyzet a többi darab? Például egy kör egy központi kiemelkedés, bár nem marad egy kört, de nem torzul „ellenőrizetlen”: ő mindig látható kúpos (ellipszis, parabola vagy hiperbola). A projektív geometria nyitott egy új korszak a tanulmány a kúpszeletek. Az egyik első tételek ebben az irányban bizonyult B. Pascal (1623-1662), a 16 éven felüli: a három metszéspontja szemközti oldalán egy hatszög feltüntetik egy kúpszelet hazugság egy egyenes vonal (3. ábra). Megjegyezzük, hogy a központi nyúlvány lehetővé teszi számunkra, hogy csökkentsék egy tetszőleges kúpszelet az esetben, ha a kör.
Mintegy méltó munka G. Desargues és B. Pascal elfelejtett fél évszázada. Új élet a projektív geometria kezdődött a munka a francia matematikus G. Monge (1746-1818) és tanítványa, J. Poncelet (1788-1867). Utolsó elmélkedtem miért ellipszis jellemzően metszik négy pontot, és a kör - csak kettő. Rájött, hogy nem vesszük észre a másik két csomópont esetében a köröket, mert nem csak a végtelenben, hanem képzeletbeli. Így a geometriában megjelenik a komplex számok.
Továbbfejlesztése, projektív geometria volt az a tény, hogy a geometria a talált összefüggés, nem változtatják meg a központi kiemelkedés. Nagyon nehéz volt megtalálni a számszerű arányokat, amelyek az ingatlan, mert a távolságok változnak jelentősen. Kiderült, hogy ha vesszük a négy pont egy egyenesen (lásd a fenti ábrát). És hozzon létre egy úgynevezett komplex, vagy kettős arány a négy pontot, akkor ez nem fogja megváltoztatni a központi előrejelzések és készítmények - projektív transzformációk (lásd Geometriai transzformációk.). Nem kell attól tartani, hogy néhány, a távolságok itt bemutatott vehet végtelen értékeket, ha végtelenbe van a számlálóban, akkor a nevezőben, valamint annak szükségességét, hogy formálisan egyetértenek, hogy csökkentse. A kereszt-aránya négy pont értékével egyenlő
amely az úgynevezett kettős aránya négy egyenes vonalak áthaladó egy ponton (hiszen alatt tároljuk projektív transzformáció).
Az egyes fogalmak és jóváhagyása projektív geometria, amely magában foglalja a pontok, vonalak, és kúpszeletek, akkor van lehetőség, hogy a kettős jóváhagyására, amelyben a pontok szerepe játszanak közvetlen és fordítva, és hovatartozás pontok közvetlenül mentett; ahol a több pontot egy kúpszelet kettős készlet minden érintők egy kúpos szakasz vonalak. Például, Pascal-tétel (. 3. ábra), mint a kettős Brianchon tétel (4. ábra), három egyenes vonalak csúcsokat összekötő egy hatszög körülvevő Egy kúpszelet, metszik egy ponton. Desargue konfigurációja 10 pixel és 10 vonalak (ábra. 2) jelentése önduális.
Általánosítva a koncepció projektív sík - véges projektív sík kétdimenziós (valós és komplex) projektív tér - manapság széles körben alkalmazzák a különböző területeken a matematika és alkalmazásai - kombinatorika, elmélet algebrai görbék és felületek.