Összeadás és kivonás, vektorok
Ezenkívül két vektor
Vegyünk egy tetszőleges O és vektort $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $. Aztán pont a defer vektor $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $. Vektor $ \ $ overrightarrow, összekötő elején az első kifejezés a vektort a végén a második (1. ábra, b) az úgynevezett ezek összege vektorok és jelöljük $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $$ (általában egy háromszög).
A azonos mennyiségű vektorokat előállíthatunk bármilyen más módon. Lay le O vektorok $ \ overrightarrow = \ overrightarrow \, és \, \ overrightarrow = \ overrightarrow $ (1. ábra, B). Építünk ezek a vektorok mindkét oldalán a paralelogramma OABC. Vector $ \ $ overrightarrow szolgáló átlós e paralelogramma levonni az O pont, nyilvánvalóan összege vektorok $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $ paralelogramma szabály). 1. ábra önmagában azt jelenti, hogy az összeg a két vektor az a kommutativitás: $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow $
Sőt, az egyes vektorok $ \ overrightarrow + \ overrightarrow \, és \, = \ overrightarrow + \ overrightarrow $ egyenlő egy és ugyanaz a vektor, $ \ overrightarrow $.
1. példa Az ABC háromszög AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90 °. Keresés: $ a) \ \ \ overrightarrow + \ overrightarrow; \, \, \ b) \, \ | \ overrightarrow + \ overrightarrow | $.
a) Van: $ | \ overrightarrow | = AB, \, \, \ | \ overrightarrow | = BC $, ezért $ | \ overrightarrow | + | \ Overrightarrow | = 7 $.
b) Mivel $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow \, \ ,, \, \, akkor \, \, | \ overrightarrow + \ overrightarrow | = | \ Overrightarrow | = AU $.
Most, alkalmazva a Pitagorasz-tétel, azt látjuk, $$ AC = \ sqrt = \ sqrt = 5, azaz \\ \, | \ overrightarrow + \ overrightarrow | = 5 $$
A koncepció vektor összeg lehet általánosítani minden véges számú tagokból álló vektor.
Tegyük fel például, három vektor $ \ overrightarrow \ overrightarrow \ és \, \ overrightarrow $ (2. ábra).
A további három vektorok
Adott első összeget a vektorok $ \ overrightarrow + \ overrightarrow $. majd hozzáadjuk ezt az összeget a vektor $ \ $ overrightarrow, megkapjuk a vektor $ (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow $. 2. ábra $$ \ overrightarrow = \ overrightarrow \,; \ Overrightarrow = b \,; \ Overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow \,; \ Overrightarrow = \ overrightarrow \\ a \\ \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow = (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow $$ 2. ábra azt mutatja, hogy ugyanaz a vektor $ \ $ overrightarrow jutunk, ha a vektor $ \ overrightarrow = \ overrightarrow $ add vektor $ \ overrightarrow = \ overrightarrow + \ overrightarrow $. Így a $ (\ overrightarrow + \ overrightarrow) + \ overrightarrow = \ overrightarrow + (\ overrightarrow + \ overrightarrow) $. t. e. összegével vektorokra az asszociativitás. Ezért az összeget három vektor $ \ overrightarrow \ ,, \, \ overrightarrow \ ,, \, \ overrightarrow $ levelet egyszerűen $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow $.
A különbség a két vektor $ \ overrightarrow \ és \, \ overrightarrow $ hívják a harmadik vektor $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow $. amelynek összege levonható vektor $ \ $ overrightarrow ad vektor $ \ overrightarrow $. Így, ha $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow \ ,, \, akkor \, \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.
A meghatározása összege két vektor általában követi építése vektort különbség (3. ábra).
Elhalasztja a vektorok $ \ overrightarrow = \ overrightarrow \ és \, \ overrightarrow = \ overrightarrow $ egy közös pont A. A vektor $ \ overrightarrow $. végeket köti össze a csökkenő a vektor $ \ $ overrightarrow és kivonja a vektor $ \ $ overrightarrow rendezésében levonható, hogy csökkentse, a különbség $ \ overrightarrow = \ overrightarrow - \ overrightarrow $. Szerint ugyanis vektor szabályból $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.
2. példa oldalán egy egyenlő oldalú háromszög ABC egyenlő egy. Keresés: $ a) | \ overrightarrow - \ overrightarrow | \ ,; \, \ b) \, \, \ | \ overrightarrow - \ overrightarrow | $.
Megoldás a) Mivel $ \ overrightarrow - \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text | \ overrightarrow | = A \ text | \ overrightarrow - \ overrightarrow | = A $.
b) Mivel $ \ overrightarrow - \ overrightarrow = \ overrightarrow \ text | \ overrightarrow | = A \ text | \ overrightarrow - \ overrightarrow | = A $.
A terméket vektor $ \ overrightarrow $ (jelöljük $ = \ lambda \ overrightarrow $ vagy $ \ overrightarrow \ lambda $) a valós szám $ \ lambda $ van a vektor $ \ overrightarrow $, kollineáris vektor $ \ overrightarrow $, amelynek hossza megegyezik a $ | \ lambda || \ overrightarrow | $, és ugyanabba az irányba, mint a vektor $ \ $ overrightarrow, ha $ \ lambda> 0 $. és irányával ellentétes irányba vektor $ \ $ overrightarrow, ha $ \ lambda <0$. Так, например, $2\overrightarrow$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow$. а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow$ (рис.4).
Szorzás vektor számos
Abban az esetben, ha $ \ lambda = 0 $, vagy $ \ overrightarrow = 0 $. A terméket $ \ lambda \ overrightarrow $ nulla vektor. Szemben vektor $ - \ overrightarrow $ lehet tekinteni, mint a szorzata egy vektor $ \ overrightarrow $ és $ \ lambda = -1 $ (lásd 4. ábra).: $$ - \ overrightarrow = \ (-1) \ overrightarrow $$ Nyilvánvalóan hogy a $ \ overrightarrow + (- \ overrightarrow) = \ overrightarrow $.
3. példa Annak bizonyítására, hogy ha G, A, B és C - tetszőleges pont, $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow = 0 $.
Határozat. Az összeg a vektorok $ \ overrightarrow + \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $. vektor $ \ overrightarrow $ - szemben a vektor $ \ overrightarrow $. Ezért $ \ overrightarrow + \ overrightarrow = \ overrightarrow $.
Adott egy vektor $ \ overrightarrow $. Tekintsük az egység vektor $ \ overrightarrow $. kollineáris vektor $ \ $ overrightarrow és egyformán irányítani őt. A meghatározás a szorzás egy vektor egy szám következik, hogy $$ \ overrightarrow = | \ overrightarrow | \, \ \ overrightarrow $$. azaz Minden vektor a termék a modulusa egy egységvektor ugyanabban az irányban. Továbbá, az azonos meghatározás azt jelenti, hogy ha $ \ overrightarrow = \ lambda \ overrightarrow $. ahol $ \ $ overrightarrow - nulla vektor, vektorok $ \ overrightarrow \ és \, \ overrightarrow $ esik. Nyilvánvaló, hogy éppen ellenkezőleg, a kollineáris vektorok $ \ overrightarrow \ és \, \ overrightarrow $ azt jelenti, hogy $ \ overrightarrow = \ lambda \ overrightarrow $.
4. példa AB vektor hossza 3, a hossza a vektor AC egyenlő 5. A koszinusza közötti szög ezen vektorok van 1/15. Keresse meg a hossza a vektor AB + AC.