Kiszámítása határok alkalmazásával L'Hospital-szabály
Differenciálszámítás nagyban megkönnyíti a feladatot határozatlan formában határértékeinek kiszámítására. Egyszerű vétel fajok határozatlan formában adja L'Hospital-szabály. melynek lényege a következő tétel.
Tétel. A határérték az arány a két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy funkciók, ha X → x0 a határ az arány származékaik, ha az utóbbi létezik, azaz a (K lehet véges vagy végtelen).
Egy másik fajta bizonytalanság 0/0 lehet nyitni egy másik módszerrel.
L'Hospital-szabály lehet használni többször ha az arány a származékos ad újra, vagy a bizonytalanság.
Példa №3. Find.
Határozat.
.
1. megjegyzés alkalmazása többször L'Hospital-szabály, szükség van minden egyes alkalommal, hogy ellenőrizze, hogy a már feltárt bizonytalanság, ellenkező esetben előfordulhat, hogy téves eredményt.
2. Megjegyzés tétel követelmény, hogy van egy jelentős, mert ha ez nem létezik, ez nem jelenti azt, hogy az azonos nem létezik. Például - nem létezik, de.
Bizonytalanságok formájában és 0 · ∞ ∞-∞ közöltekkel azonos transzformációk bizonytalanságok csökken 0/0 vagy ∞ / ∞, majd bővült a L'Hopital szabályt.
0 · ∞ bizonytalanság merül fel, amikor meg akarja találni a témában. Ennek eredményeként az átalakulás (vagy) a bizonytalanság a 0/0 kapunk (akár ∞ / ∞).
Ha azt szeretnénk, hogy megtalálja, és ahol majd, ami a különbség az f (x) - g (x) =, megkapjuk a bizonytalanság 0/0. Bizonytalanságok alkotnak 0 0. 1 ∞. ∞ 0 logaritmusával expresszió [f (x)] g (x) csökken a bizonytalanság 0 · ∞, a fent tárgyalt.
Példa №4. Find.
Határozat. Itt van az a bizonytalanság 0 · ∞. Átírni ezt a kifejezést formájában.
Most akkor lehet alkalmazni, L'Hospital-szabály:
.
Példa №6. Find.
Határozat. Ez a kifejezés egy meghatározatlan formája ∞-∞. Átalakítani, hogy egy másik faj:
Példa №8. Find.
Határozat. Itt meghatározatlan formában 0 0. Legyen y = x x és a logaritmus: lny = x · lnx, ahol folytonossága miatt a logaritmikus függvény (4. példa). Tehát, ha pl .
Példa №9. Find.
Határozat. Van bizonytalanság 1 ∞. hogy meg lehet nyitni a segítségével a második figyelemre méltó határ, de mi itt egy másik vétel. Jelöljük, majd
.
Kapjuk, akkor definíció szerint a logaritmus.
Példa №10. Keresse meg a határértéket, a jogállamiság L'Hospital-Bernoulli.
Határozat.
A f (x) = ln (x) differenciálható minden mezőmeghatározásainak funkció # 966; (x) = x 3 x differenciálható bármelyik R, ha x → ∞; 3 x → ∞. Van bizonytalanság. Alkalmazza L'Hospital-szabály-Bernoulli:
.
Példa №11. Keresse meg a határértéket, a jogállamiság L'Hospital-Bernoulli:
.
Határozat. logaritmusfüggvény
,
kapjuk:
.
Funkció ln (x) és ln (E X -1) differenciálható (0; + ∞). Alkalmazza L'Hospital-szabály-Bernoulli bizonytalanság:
.
Számolja limit alkalmazása L'Hospital-szabály.
Határozat. L'Hospital-szabály lehetővé teszi, hogy hozzák nyilvánosságra a bizonytalanság 0/0 és ∞ / ∞.
A példánkban:
L'Hospital-szabály alkalmazandó, amely azt mondja, hogy a határ az arány egyenlő a határ funkciók arányának származékaik.
A példánkban:
f (x) = π-2arctg (x)
g (x) = 1 / x
Találjuk az első származékos
g „(x) = -1 / x 2
f „(x) = 2x
g „(x) = 2x
Válasz: 2