Határozatlan integrál, matematika-ismétlés
Bejegyzések „határozatlan integrál”
Az integráció alkalmazásával eltérés jel az előző órák, azt foglalta össze a jel alatt az eltérés lineáris függvény. Tény, hogy ahelyett, hogy a változó u minden alkalommal jelentette kifejezése formájában kx + b, azaz a Azt gondoltuk: u-kx + b. előkészített du = KDX. aztán elé az integrál jel tényező 1 / k. hogy nem változik az értéke ennek integrál. Ha a döntés, hogy használja a tulajdonságokat és szerves táblázat - lap integrálok.
Lehetséges, hogy aláírja a differenciál összeg nemlineáris függvény? Igen, ha az integrandus egy olyan termék a két tényező: az egyik tényező - bonyolult függvénye néhány nemlineáris függvény, és a másik tényező a származék ezen nemlineáris függvény. Tekintsük a fenti példák.
Keresse meg a határozatlan integrál.
1. példa ∫ (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 dx = ∫ (x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) = (x² + x + 2), 6: 6 + C.
Mi ez integrandusz? A terméket az energiaellátási funkcióit (x + 2 x + 2) és (2x + 1), amely származik az alapja a mértéke (x + 2 x + 2) = 2x + 1.
Ez lehetővé tette számunkra, hogy (2x + 1) jel alatt az eltérés:
(2x + 1) dx = d (x 2 + x + 2). És akkor kell alkalmazni a képlet:
Ellenőrizze. 6 = 1/6 · (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2) ': (F (x) + C)' = (6 + C (x² + x + 2) 6) ' =
= (X 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 = f (x).
2. példa ∫ (3x 2 - 2x + 3) (x 3x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫ (x 3x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3x 2 + 3x + 1 ) =
És a több ez a példa abban különbözik az 1. példa? Igen, semmi! A ugyanolyan mértékben egy ötödik bázissal (3 x 2 + 3 + 1) szorozva egy trinomiális (3x 2 - 2x + 3), amely származik egy bázis szintet (3 x 2 + 3 + 1) = 3x 2 - 2x + 3. Ez a talajszint hoztunk alatti eltérés jel, amelyből az érték az integrandus nem változik, majd ugyanezt a képlet 1). (Integrálok)
Itt, a származékot (február 3-03) ad (6x 2 - 3), és van
álló (12x 2 - 6), vagyis a kifejeződés 2-szeres nagyobb átlagos összege (2 x 3 - 3x) alatt differenciálási jel, és mielőtt a szerves ellátási faktor 2. Alkalmazzuk képletű 2) (lemez integrálok).
Itt van, mi történik:
Ne nézd, tekintettel arra, hogy:
A legutóbbi ülés (11.1.2), megtekinti a példákat találni határozatlan integrálok, találkoztunk a módszer összefoglaló differenciális jel (hívtuk meg a második út). Sőt, mi egy új változót, megnevezése nélkül, és csak azt jelenti.
Ebben a leckében rendelni egy készség változása változót a határozatlan integrál és jellemzőinek ismerete és táblázatok integrálok. Ismét szükségünk van a lap integrálok.
Példák. Keresse meg a határozatlan integrál.
1. ∫ (6x + 5) 3 dx. Hogyan döntsük el? Bízunk a szerves lapot, és azt állítják, mint ez: az integrandus egy erő, és van egy képletet a szerves fokozat (Forma-1)), de van egy alap szinten, és az integrációs változó u túl u.
És mi van az integráció x változó. és a bázis szintet (6x + 5). Hogy változás a változó integráció helyett levelet dx d (6x + 5). Mi változott meg? Mivel akkor érdemes a következő differenciál jel d, alapértelmezés szerint differenciált,
majd d (6x + 5) = 6DX, azaz cseréje változó x változó (6x + 5) integrandus nőtt 6-szor, így elindult a szerves jele faktor 1/6. Jegyezze fel ezeket érvek a következők lehetnek:
Ezért úgy döntöttünk, ez a példa a bevezetése egy új változó (változó helyett egy változó 6x + 5). Amennyiben felvettünk egy új változó (6x + 5)? Jel alatt az eltérés. Ezért ez a módszer bevezetésének az új változó gyakran nevezik módszer (vagy folyamat) összeadásával (új változó) alatti eltérés jel.
Egy második példában, először vett teljesítmény negatív index, majd összegezte a differenciális jel (7x-2) alkalmaztunk, és a mértéke beépített képlet 1) (integrálok).
Nézzük példa 3-oldattal.
Mielőtt a szerves költségtényező 1/5. Miért? Mivel d (5x-2) = 5DX, hozta a megjelölést az eltérés a funkció u = 5x-2, mi nőtt a integrandust 5-ször, így az érték ennek a kifejezésnek nem változott - szükséges volt, hogy ossza el 5, azaz . szorozva 1/5. Továbbá, 2 képlet) (integrálok) használtunk.
Minden integrálok egyszerű képlet fog kinézni:
∫f (x) dx = F (x) + C. Sőt, az egyenlő:
Az integráció képletek lehet beszerezni a kapcsolatot a megfelelő differenciálás képleteket.
Az n kitevő lehet frakcionált. Gyakran van szükség, hogy megtalálják a határozatlan integrál függvény y = √h. Számítsuk ki a szerves az f (x) = √x, a következő képlet segítségével 1).
Írunk a példában formájában Formula 2).
Mivel (x + c) = 1, akkor ∫dx = x + C
Cseréje 1 / h² által x 2. Kiszámoljuk a szerves 1 / h².
És ez volt lehetséges ez a válasz ismert kezelési differenciálódás képletek:
Írunk érveinket formájában Formula 4).
Szorzása mindkét oldalán az egyenlet 2, megkapjuk képletű 5).
Találunk integrálok alapvető trigonometrikus függvények, tudván ezek származékai: (sinx) „= cosx; (Cosx) „= - sinx; (TGX) „= 1 / cos²x; (Ctgx) „= - 1 / sin²x. Szerezze integráció képletek 6) - 9).
Tanulmányozása után az exponenciális és logaritmikus függvények, adjunk hozzá még néhány képleteket.
A főbb jellemzői a határozatlan integrál.
I. A származék egy határozatlan integrál egyenlő a integrandust.
II. Eltérés határozatlan integrál megegyezik az integrandus.
III. Határozatlan integrál a differenciális (származék) egy függvény összegével egyenlő a funkciók és tetszőleges konstans C.
Megjegyzés: I, II és III tulajdonságait differenciális és integrális jelek (integrál és differenciál) „enni” egymást!
IV. A konstans tényezője az integrandus lehet kivinni az integrál jel.
∫kf (x) dx = k · ∫f (x) dx, ahol k - egy állandó érték nem egyenlő nullával.
V. A beépített algebrai összege funkciók egyenlő az algebrai összege integrálok ezeket a funkciókat.
VI. Ha F (x) egy primitív f (x), a K és b - állandó értékek, ahol, k ≠ 0, akkor (1 / k) · F (kx + b) egy primitív f (kx + b). Valóban, a szabály alapján kiszámítani a származékot egy összetett függvény, van:
Van inverz minden matematikai művelet. A származékot fellépés (megtalálása származékai funkciók) is van az ellenkező hatást - az integráció. Talált integrálásával (redukált) által egy adott funkció vagy annak származéka eltérés. Talált olyan függvény primitív.
Definíció. Differenciálható függvény F (x) nevezzük primitív az f (x) egy előre meghatározott intervallumban, ha minden x ebben az intervallumban egyenlőség: F „(x) = f (x).
Példák. Find antiderivatives funkciók: 1) f (x) = 2x; 2) f (x) = 3cos3x.
1) Mivel a (h²) = 2, akkor értelemszerűen, a F (x) = x² lesz primitív az f (x) = 2x.
2) (sin3x) „= 3cos3x. Jelölő f (x) = 3cos3x és F (x) = sin3x, akkor definíció a primitív, van: F „(x) = f (x), és így, az F (x) = sin3x egy primitív f ( x) = 3cos3x.
Megjegyezzük, hogy (sin3x + 5) „= 3cos3x. és (sin3x-8,2) „= 3cos3x. általános formában írható: (sin3x + C) „= 3cos3x. ahol C - állandó érték. Ezek a példák azt mutatják, a kétértelműség az intézkedés az integráció, szemben a differenciálódását hatását, ha bármely differenciálható függvény csak származék.
Definíció. Ha a függvény F (x) egy primitív az f (x) egy intervallumon, akkor a készlet minden primitíveket ez a funkció a következő:
F (x) + C. ahol C - bármilyen valós szám.
A készlet minden primitívek F (x) + C f (x) a meghatározott intervallumon nevezett határozatlan integrál és jelöljük ∫ (integrál jel). Record: ∫f (x) dx = F (x) + C.
∫f (x) dx Az expressziós olvasás "szerves ef a X de X".
f (x) dx - integrandust,
f (x) - integrandust,
x - változó az integráció.
C - állandó érték.
Most tekinthető példák felírható:
Mit jelent a jele d?
d - a jele az eltérés - célja kettős: egyrészt a jel választja el az integrandus az integrációs változó; Másodszor, minden, ami után ez a jel diferentsiruetsya alapértelmezett és megszorozzuk az integrandus.
3) Miután a differenciál költség x d ikonra. Ennélfogva, az integráció x változó. és p figyelembe kell venni egy állandó.
Mi egy átvilágítás. F '(x) = (px² + C)' = p · (x²) '+ C' = p · 2x = 2px = f (x).
4) Miután a differenciál d ikon p. Ennélfogva, az integráció p változó. és x kell tekinteni tényező állandó.
Mi egy átvilágítás. F '(p) = (p²x + C)' = x · (P²) '+ C' = x · 2p = 2px = f (p).
Oldal 1 1 1