A határozatlan integrál

Összefoglaló a magasabb matematika

Teljesül: diák Lobin LA

Moszkvai Állami Egyetem Közgazdasági és Informatikai statisztika.

Primitív és a határozatlan integrál

Tekintsük a probléma: adott egy f (x); találniuk kell egy F (x) függvény, amelynek származékot megegyezik az f (x), azaz. F „(x) = f (x).

Definíció: 1. F (x) nevezzük primitív függvény f (x), az [a, b], ha egyáltalán pontok ebben a szegmensben, a egyenlőséget F „(x) = f (x).

Példa. Keresés primitív függvény az f (x) = x2.Iz meghatározó primitív, a F (x) = x3 / 3 a primitív, mint (x3 / 3) „= x2.

Könnyen belátható, hogy ha f (x) van egy primitív függvény. hogy ez a primitív nem az egyetlen. Így az előző példában lehetne venni primitívek az alábbi funkciók:

(Ahol c egy tetszőleges konstans), mivel

. Másrészt, meg lehet bizonyítani, hogy a funkciók az űrlap

merítik ki az összes primitív függvény x2. Ez következik az alábbi tétel.

Tétel. Ha F1 (x) és F2 (x) - két primitívek függvény f (x), az [a, b], majd a köztük lévő különbség állandó.

Bizonyítás. A definíció a primitív van

F1 '(x) = f (x), F2' (x) = f (x) (1)

A bármely x értéknél, az [a, b].

F1 (x) - F2 (x) = # 966; (x). (2)

Ezután alapján egyenletek (1) lesz F'1 (x) - F'2 (x) = f (x) - f (x) = 0, vagy # 966; (x) = [F'1 (x) - F'2 (x)] „≡0 bármely x értéknél, az [a, b]. De a egyenlőségre # 966; (x) = 0, akkor az következik, hogy # 966; (x) egy konstans. Sőt, mi vonatkozik Lagrange-tétel a funkció # 966; (x), amely egyértelműen differenciálható, és folytonos az [a, b]. Bármi legyen is az x pont az [a, b], már a Lagrange-tétel # 966; (x) - # 966; (a) = (X-a) # 966; „(z), ahol egy

Ez a függvény a # 966; (x) bármely pontján x az [a, b] tárolja az értéket # 966; (a), ami azt jelenti, hogy a funkció # 966; (x) állandó a [a, b]. kijelölő konstans # 966, (a) C, a egyenletek (2) és (3) kapjuk F1 (x) - F2 (x) = C

E tételből következik, hogy ha egy adott f (x) található kakaya- bármelyike primitív F (x), akkor bármely más primitív f (x) a formája F (x) + C, ahol C = const /

DEFINÍCIÓ 2. Ha az F (x) egy primitív f (x), az expressziós F (x) + C nevezzük határozatlan integrál az f (x), és jelöljük ∫f (x) dx.Takim módon definíció szerint, ∫ f (x) dx = f (x) + C, ha f „(x) = f (x). Ebben az esetben az f (x) az úgynevezett integrandust függvény, f (x) DX- integrandust megjelölés ∫- integrál jel.

Így a határozatlan integrál családját képviseli funkciók y = f (x) + C

A geometriai szempontból az alábbiak összege határozatlan integrál (családi) görbék, amelyek mindegyike eltolása révén kapunk az egyik görbék önmagával párhuzamosan felfelé vagy lefelé, azaz. E. az Y tengely mentén.

A kérdés természetesen felmerül: ha bármely f (x), vannak primitívek (és így a határozatlan integrál)? Kiderül, hogy minden. Megjegyezzük azonban, nincs bizonyíték, hogy ha egy f (x) folytonos a [a, b], akkor létezik egy primitív (és így a határozatlan integrál) ezt a funkciót.

Megtalálni a primitív egy adott f (x) nevezzük egy integrációs f (x).

Vegye figyelembe az alábbiakat: ha a származék az elemi függvény mindig egy elemi függvény primitív elemi függvények nem ábrázolható véges számú elemi függvények. 2 meghatározásából következik:

1.Proizvodnaya a határozatlan integrál egyenlő integrandust teesli F „(x) = f (x), majd

(∫ f (x) dx) '= (F (x) + C)' = f (x). (4)

Az utolsó egyenlőséget kell értelmezni, hogy a származék primitív az integrandus.

2. Az eltérés a határozatlan integrál integrandust:

d (∫f (x) dx) = f (x) dx. (5)

Ez alapján kapjuk a (4) képletű.

3. határozatlan integrál a differenciális egy függvény a funkción kívül még egy tetszőleges konstans:

Ez az érvényesség egyenlet könnyen ellenőrizheti differenciálódás (a különbségek a két oldal egyenlő a dF (x)).

2. táblázat integrálok.

Mielőtt a bemutatása integrálási módszerek, bemutatunk egy táblázatot integrálok elemi függvények.

.(Itt és a következő képletek tudatosan

Az érvényességi általános képletű 7,8,11”, 14 12,13'i könnyen telepíthető a differenciálódás.

Abban az esetben, 7 általános képlete

Abban az esetben, általános képletű 8

Kapcsolódó cikkek

előző ◈ a következő