Egyenértékű Boole-formulával
Definíció. Két logikai képlet az A és B akkor ekvivalens, ha elviszik ODI-Nakova logikai értéket bármilyen értékrendet belül a betétek elemi propozicionális formula-CIÓ.
Az egyenértékűség képletek fogjuk jelölni a jel. és felvétel AB azt jelenti, hogy a képlet az A és B azonos, fehérnemű.
Például, a megfelelője a képletű:
A képlet A jelentése azonosan igaz (vagy tautológia). ha be van állítva az 1 minden értékekkel tagváltozóival.
Például, igaz azonosak képletek.
A képlet azonosan hamis, ha be van állítva a 0 minden értékekkel tagváltozóival.
Például, azonosan hamis képlet.
Nyilvánvaló, hogy ez az arány az egyenértékűség reflexív, szimmetrikus és tranzitív.
Fogalma közötti egyenértékűség és egyenértékű-STI következő kapcsolat áll fenn: ha a képletek A és B egyenértékű, akkor a képlet AB - tautológiát és kapcsolatba-de ha a általános képletű AB - tautológia, akkor az A és B képletek egyenértékűek.
Kritikus egyenértékűségének hogy a matematikai logika lehet három csoportba sorolhatók.
1. Alapvető egyenértékű:
Bebizonyítjuk egyik abszorpciós törvényeket. Tekintsük a képlet. Ha a képlet a = 1, akkor nyilvánvaló, hogy mivel a kötőszavak-CIÓ két igaz állítások. Most vfor mule-A x = 0. De akkor értelemszerűen a művelet kon-együttállások és összefüggésben hamis. Tehát minden esetben az értéke a képlet egybeesnek értékekkel-cheniyami, ezért Ax.
2. egyenértékűen kifejező egy logikai műveleteket a másik:
Egyértelmű, hogy a egyenértékűségét 5. és 6. nyert ekvivalenciáit 3, illetve 4, mindkét oldalon, ha ez utóbbi veszi megtagadását és használja a törvény a kettős tagadás eltávolítását. Így a bizonyítás-stve szüksége első négy egyenértékűségét. Bizonyítsuk kettő: az első és a harmadik.
Mivel ugyanazon a logikai értéke az x és y igaz formulák. . . Az igazi akarat és a kötőszó. Követi-szekvencia, ebben az esetben mindkét rész azonos ekvivalencia értékek igazak.
Tegyük fel, hogy x és y különböző logikai értékek-CIÓ. Aztán ott lesz hamis egyenértékűség és a két vagy következményeit. Ez egyúttal
Ez hamis és kötőszó. Így ebben az esetben mindkét rész azonos ekvivalencia logikai értékek.
Tekintsük egyenértékűség 3. Ha x és y átvétel egy időben a valódi értéket, akkor igaz és hamis összefüggésben xy tagadás összefüggésben. Ugyanakkor ez hamis és és. és ezért én hamis és a szétválás.
Most tegyük fel, hogy legalább az egyik változó x és y értéke hamis. Akkor nem lesz hamis konyun Ktsia-hu és a tagadása igaz. Ugyanakkor, a ritsanie legalább az egyik változót, hogy igaz legyen, és így lesz egy igazi és a szétválás.
Ezért minden esetben mindkét rész egyenértékű-ség 3, azonos logikai értéket.
Hasonlóképpen bizonyítani egyenértékűségét 2 és 4.
Equipollences Ebből a csoportból, az következik, hogy a teljes-kuyu Boole-formulával helyettesíteni lehet egyformán erős képletű ok, amely csak két-Kie logikai műveletek: egy együtt vagy diszjunkció, és negáció, és a tagadás CIÓ.
További kivételt logikai műveletek-nem lehetséges. Tehát, ha csak használni együtt, van egy ilyen képlet, mint a tagadását x nem lehet kifejezni útján működés kon-csatlakozással.
Vannak azonban olyan művelet, amellyel ki lehet fejezni mind az öt logikai műveletek, amelyek az általunk használt. Az ilyen műveletek Xia, például a művelet „Vonalkód Schaeffer.” Ez opera-CIÓ jelöljük x | y és határozzuk nyomon ING igazság táblázat:
Ebből a két equipollences az következik, hogy minden olyan Boole képletű helyettesíthető egyformán erős formula, amely csak a művelet „Vonalkód Schaeffer.”
művelet végrehajtása hasonlóan.
3. felér kifejező alaptörvényeiben hogy a matematikai logika:
1. x uuh - kommutativitás kötőszó.
2. xuyh - kommutativitás diszjunkciót.
3. x (y g) (x y) z - asszociativitás kötőszók-CIÓ.
4. x (y z) (xy) Z- asszociatív diszjunkció-CIÓ.
5. x (Uz) (X y) (XZ) - Kon-elosztó kötőszavak tekintetében diszjunkcióját.
6. x (yz) (XY) (X Z) - disztributivitás diz-kötőszók viszonylag összefüggésben.
Lássuk be az utolsó ilyen törvényeket. Ha x = 1, akkor a képlet igaz lesz (y z), xy. X Z. De akkor lesz igaz, és az együttállás (XY) (X Z). Így, ha x = 1, mindkét oldalán a egyenértékűség 6 azonosak logikai értéket (igaz).
Legyen x = 0. Ekkor x (y z) YZ, és xuu x z z, és így összefüggésben x (yz) yz. Ennélfogva, itt mindkét oldalán a egyenértékűség 6-erős megegyezik az azonos képlet uz, és ezért Prien mayutsya azonos logikai értékeket.
§ 5. Egyenértékű átszámítási képlet
A egyenértékűség I, II és III csoportok része lehet az általános képletű, vagy általános képletű, hogy helyette egy alakzatot egyenértékű loi. Ezek a képletek nevezzük transzformációs ció egyenértékű.
Egyenértékű transzformációk igazolására használt equipollences, a vezetés a képleteket adott típusú, hogy egyszerűsítse a képleteket.
Egy egyszerűbb képlet tekinthető egyenértékűnek a fore-öszvér, ha tartalmaz kevesebb karakter, kevésbé lo-cal műveleteket. Ebben a műveletben általában equi-vegyértéke, és helyébe vonzata műveleteinek összefüggésben és a szétválás, és negáltja kapcsolódnak elemi kijelentések. Tekintsük száma alatti merek.
1. Bizonyítsuk egyenértékűségét.
A egyenértékűség I, II és III csoportok levelet lánc egyenértékű képletek:
2. egyszerűsítik a képlet.
Írunk a húr megfelelője a képletek:
Az ilyen készlet M nevezzük Boole algebra.
Ha bázikus elemek x, y, z. megszemélyesíteni-Meva megnyilatkozás, a művelet „+”, „”, „-” diszjunkciót összefüggésben, negáció, illetve, és az egyenlőségjel jeleként ravnosilnos-ti, akkor következik equipollences I, II és III csoportokat az összes axiómával Boole algebra végezni.
Azokban az esetekben, amikor a rendszer axiómája lehet felvenni konkrét tárgyak és konkrét kapcsolat közöttük, hogy minden az axiómák vypol-Gen-mondják talált értelmezés (vagy mo-del) a rendszer az axiómák.
Ezért a matematikai logika olyan értelmezése bú-balra algebra. Boole-algebra más értelmezést-CIÓ. Például, ha a bázikus elemek x, y, z. jelenti az M állítja működés közben-s „+”, „”, „-” az unió, metszet, komplement, illetve jeleként egyenlőség - egyenlőségjel készletek, érkezünk algebra készletek. Ez nem nehéz, de biztos, hogy az algebra halmazok összes axiómája algebra-ry Bull távon.
A különböző értelmezések Boole algebra értelmezik és technikai jellegű. Egyikük lesz szó az alábbiakban. Mint látni fogjuk, ez fontos szerepet játszik a modern automatizálási.
Boole-függvények
Mint már említettük, az érték a képlet algebra lo gémek teljesen független értékek szerepelnek ebben a fore-öszvér nyilatkozatokat. Ezért, Boole-formulával függvénye alkotó elemi deliv-kötő.
Például, a képlet függvénye
három változó F (x, y, z). A jellemzője ez a funkció, hogy az ítélkezési azáltal két értéket: nulla vagy egy, és így a funkció is vesz két értéket: nulla vagy egy.
Opredelenie.Funktsiey Boole n-TION változások (vagy Boole-függvény) egy olyan funkció, ha újra-változók, ahol minden variábilis két-TION értékek 0 és 1, és ahol a funkciót kaphat tetőfedő-egyikéhez két érték: 0, vagy 1.
Nyilvánvaló, hogy azonos igaz, egyforma hamis formula logikai funkciók állandó és két ekvivalens formulák you-rage ugyanazt a funkciót.
Nézzük, mi van a funkciók száma n változók. Oche értetődő, minden Boole-függvény (mint a képlet a logikai érték) lehet beállítani anyagként cisz-tinnosti táblázat, amely tartalmazza majd 2 n sort. Vizsgáló-de minden funkció n változó veszi értékek 2 n-ny álló nullák. Így a szórakoztató-Ktsia n változók teljes mértékben meghatározza egy sor ZNA-Cheny a nullák és egyesek 2 hosszúságú n. (A teljes száma a lapokhoz álló nullák és egyesek, a hossza 2 n azonos. Ennélfogva, a számos különböző Boole-függvények n változók egyébként.
Különösen a különböző funkciók egy változó négy, és a különböző feladatokat a két változó pólus-tizenegy. Írunk ki az összes funkcióját a matematikai logika egy és két változó között.
Tekintsük az igazság táblázat a különböző funkciók egy változó. Nyilvánvalóan a formája: