Egy lineáris egyenletek formájában
Egy lineáris egyenletek formájában
Tekintsünk egy rendszer \ (m \) lineáris algebrai egyenletek \ (n \) ismeretlent, \ [a_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_1, \ quad \ quad (28) \] \ [a_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_2, \ quad \ quad (29) \] \ [. \] \ [A_x_1 + a_x_2 +. + A_x_n = b_m, \ quad \ quad (30) \]
Mátrix együtthatóit a rendszer mátrix úgynevezett \ [A = \ left (\ kezdődik a_ a_ a_ \ ldots a_ \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ \ end \ right). \] Form a jobb oldalán az oszlop rendszert \ [B = \ left (\ kezdődik b_1 b_2 \ ldots b_m \ end \ right) ^ T. \]
Definíció. Az egyenletrendszer (28) - (30) hívják számsor \ (x_1, x_2 x_n \.), Amely felhívja az összes ilyen egyenletek az egyenletben behelyettesítve az egyenletbe.
Definíció. A rendszer egyenletek (28) - (30) homogénnek nevezzük. Ha az oszlop a jobb oldalán nulla. Ha az oszlop \ (B \) nem nulla, a rendszer az úgynevezett heterogén.
Általánosságban elmondható, az egyenletrendszert (28) - (30) nem lehet megoldásokat.
Példa. Tekintsük az egyenletrendszert \ [x_1 + x_2 = 1, \] \ [x_1 + x_2 = 2. \]
Egyértelmű, hogy nincs megoldás.
Továbbá, a lineáris egyenletrendszer lehet végtelen sok megoldás.
Példa. Tekintsük az egyenletrendszert \ [x_1 + x_2 = 0. \]
Nyilvánvaló, hogy ez a rendszer az egyik egyenletek két ismeretlen végtelen sok megoldás.
Ezen túlmenően, ez következik a tétel a Cramer, az egyenletrendszert lehet az egyetlen megoldás. Ezért szükséges, hogy dolgozzon ki egy elméletet, amely lehetővé teszi, hogy megtudja, általánosságban, ha a rendszer nem felel meg, ha van megoldás, és hogyan teszi, és olyan berendezés, amely lehetővé teszi, hogy építsenek ezeket a megoldásokat.
Gauss módszer lehetővé teszi egy új megközelítés, hogy építsenek megoldások tetszőleges rendszer lineáris algebrai egyenletek. A kiindulópont az építési egy kiterjesztett mátrix, amely a következőképpen állítjuk elő: egy együttható mátrix rendszer \ (A \) adunk a jobb oldali oszlopban a jobb oldalán \ (B \). Ugyanakkor van egy természetes egy-az-egyhez megfelelés: minden sorban a kiegészített mátrix a rendszer kielégíti a következő egyenlet.
Gauss módszer azon alapul, a következő egyszerű megfontolások: vannak átalakítás egyenletrendszert, amely nem változik a sor megoldást a rendszer. Mi listát ezeket a változásokat, annak megjelölésével, hogy ezek hogyan befolyásolják a bővített mátrix.
1. permutációs egyenletek (sorok az expandált mátrix permutációs).
2. Szorozzuk száma nemnulla egyenletek (a sorok a mátrix szorzás bővült a nem nulla egész szám).
3. Kivonás egymástól egyenlet szorozva tetszőleges számú (kivonás a meghosszabbított vonal egy másik sorban a mátrix szorozva egy tetszőleges szám).
4. átrendezése a két ismeretlennel (a szükségességét, hogy fordított a változás változók) (oszlop kiterjesztett mátrix permutáció).
Most leírjuk az eljárást megoldani egy lineáris egyenletrendszer a Gauss módszer. Ez magában foglalja a két lépés: előre és hátra.
1. Közvetlen során a Gauss módszer. Írunk a kibővített mátrix egyenletek, \ [A = \ left (\ begin a_ a_ a_ \ ldots a_ b_1 \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ b_2 \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ Vdots \\ a_ a_ a_ \ ldots a_ b_m \ end \ right). \] És azt látjuk, a számok között \ (a_ \) eltér 0. átültetése sorok és oszlopok mozgatni, hogy a pozíció szám \ ((1,1) \) \ [A \ mapsto \ left (\ kezdődik a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Ezután, a második, a harmadik és az azt követő vonalak vonjuk az első egy megfelelő faktorral, úgy, hogy szám alatt \ (a ^ \) megjelent nulla elemek, \ [A \ mapsto \ left (\ megkezdi a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Ezután része a szerszám, nem beleértve az első sor és az utolsó oszlop, ismét keres egy nem nulla elem \ (a ^ \) celláinak kiolvasása és sorok és oszlopok, tegyük helyzetben \ ((2,2) \), \ [A \ mapsto \ left (\ kezdődik a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Kivonva a második sorban az összes ezt követő szorzók megfelelő megszerezni 0 minden elem alatt álló \ (a ^ \), \ [A \ mapsto \ left (\ megkezdi a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \ end \ right). \] Ezután része a hal, nem beleértve az első és a második sorban, és az utolsó oszlop, ismét keresi a nulla elem \ (a ^ \) celláinak kiolvasása és sorok és oszlopok, tegyük a helyére \ ((3,3) \), és így tovább. d. Folytatva eljárás, azt átalakítani az eredeti mátrix mátrix, amelynek „trapéz” alakú: a fő diagonális mátrix vannak nullától elemek, és az alábbi fő átló - nulla. A eljárás leáll, ha 1) eljutunk az „alulról” a mátrix, vagy 2) lehetetlen lesz találni egy nem nulla elemet a megmaradt vonalak, azaz A többi sorokban csak nullát (talán kivéve az utolsó oszlop!). Ebben előremenetben Gauss véget ér. Ennek eredménye a transzformált mátrix.
2. Fordított a Gauss módszer. Gondosan mérlegelje épített az előző lépésben mátrix. Mint fentebb megjegyeztük, minden sor a konstruált mátrix-egyenlettel, amely egyedileg rajta helyreáll. Így meg kell oldani egy egyenletrendszert megfelelő tömb épült eredményeként a Gauss-elimináció módszerrel. A következő eset lehetséges.
a) Ez tartalmaz egy sort, amely nullákat kivéve az utolsó oszlop elemei, amelyek nem nulla, \ [A \ mapsto \ left (\ megkezdi a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 a ^ \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ 0 0 \ ldots \ ldots \ ldots \ Ldots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \ Vdots \\ 0 0 0 \ ldots 0 b ^ * \ end \ right). \] \ (B ^ * \ NEQ 0 \). Amint fentebb említettük, minden ilyen sorban a mátrixban megfelel az egyenlet ebben az esetben - egy egyenletet együtthatójú nulla, a jobb oldalon, amely nem nulla. Így ebben az esetben az eredeti egyenletrendszer ellentmondásos.
b) a kapott mátrix tartalmaz egy teljesen üres karakterlánc. Ezek a vonalak megfelelnek a triviális egyenlet \ (0 = 0 \), akkor lehet hagyni. Továbbá, \ (r \), a szám a nem nulla elemek annak főátlón a rangot a mátrix együtthatók az eredeti rendszer egyenletek. Ebben az esetben van 2 helyzetekben:
b1) \ (r = n \) - rangot a mátrix megegyezik az ismeretlenek száma. Ez a helyzet Cramer tétel, ha csak az egyik megoldás a rendszer. Szerint az építőiparban a mátrix csökkentett egyenletrendszer, amely megoldott alulról felfelé. Minden lépésben az egyenlet triviális.