Ciklikus csoport, matematika, rajongók powered by Wikia
Csoport elmélet csoportot nevezzük ciklikus. ha keletkezik egyetlen elem a. azaz minden eleme van hatásköre egy (vagy, terminológia használata adalékanyag, képviseletében a na ahol n -. egész szám).
Ezért hívjuk G ciklikus, ha G = a |>. Más szóval, ha a G csoport jelentése gyűrűs ha G bármely alcsoportja. tartalmaz egy. Ez egybeesik G. Ez abból következik, hogy ebben az alcsoportban tartalmaznia kell minden erejét az elem a.
Például, ha a G = E. g 1. g 2. g 3. g 4. g 5>, akkor G ciklikus. Ebben az esetben, akkor látható, hogy a G úgy van elrendezve továbbá, mint egy csoport a működését hozzáadásával modulo 6 (alakilag, G izomorf IT). Izomorfizmus épül, ha a levelezés g put 1 a második csoport.
Minden van egy egyedi szám (legfeljebb izomorfizmus) gyűrűs csoport, így sorrendben. Emellett van pontosan egy végtelen ciklusos csoportot. Emiatt egyszerű szerkezete ciklusos csoport alaposan tanulmányozták és osztályozott.
Annak ellenére, hogy nevét, a csoport nem kell szó szerint a „ciklus”. Előfordulhat, hogy minden hatáskörét különböző. Csoport így létrehozott úgynevezett végtelen ciklusos csoport, és izomorf egész számok az összeadásra ().
Mivel az összes gyűrűs csoportok Abel. gyakran nevezik, bár egyes matematikusok ilyen megjelöléseket elkerülhető, kijelölő őket, mint a hányadosa egész szám (), nem tévesztendő össze más közös megnevezések.
tulajdonságok szerkesztése
Minden ciklusos csoport izomorf hozzáadásával modulo n, vagy egész számok csoportját az összeadásra. Így a megértéséhez a szerkezet a gyűrűs csoportok, hogy tanulmányozza csak akkor kell ezeket. Ez a tulajdonság teszi a ciklikus csoport nagyon könnyű megtanulni. Sok érdekes tulajdonságai ilyen csoportok. Mivel egy ciklusos csoportot G n-edrendű (A végtelen). Ekkor minden g G sleuyuschee igaz:
- G jelentése Abel; azaz, hogy a csoport művelet kommutatív: AB = BA. Ez igaz, mert (a + b) mod n = (b + a) mod n.
- Ha n <, то , поскольку n mod n = 0.
- Ha n =, akkor már csak két létrehozó 1 elem és -1 (a jelölést).
- Minden alcsoport G ciklikus.
- Izomorf Gn (hányados) = C modulo n.
Minden generátorok szám 1-től n. amelyek kölcsönösen elsődleges és N; ez a szám # 966; (n), ahol # 966; - Euler funkciót. Általánosabban, ha d osztója n. az elemek száma a sorrendben d egyenlő # 966; (d). Rendelés osztály levonása m értéke n / lnko (n, m).
Ha p - elsődleges. a ciklusos csoport rend p és egyedülálló akár izomorfizmus (ez következik Lagrange-tétel).
A közvetlen terméke két ciklusos csoportot és ciklusok, ha, és csak akkor, ha n és m értéke viszonylag fix. Például közvetlen terméke, és csak és.
A Alaptétele véges generált Abel-csoport kimondja, hogy minden véges generált Abel-csoport egyedileg bomlik közvetlen terméke primer ciklusos csoportok. Egy elsődleges csoport lehet ciklusos csoportot, ahol p - elsődleges, vagy.
Ők is kommutatív gyűrű (tekintettel az összeadás és szorzás). Ha p - prímszám, akkor - mint véges területen. vagy Fp is nevezzük GF (p). Mindegyik véges mező p elemekkel izomorf Fp.
Bármilyen multiplikatív csoport véges mező gyűrűs (generálja a legmagasabb rendű mező).
példák szerkesztése
Csoport Galois bármely véges kiterjesztése a véges és véges ciklikus; Ezzel szemben, ha az adott végső mező F és G. véges ciklusos csoport van egy véges Galois-kiterjesztés, amely F olyan csoportot G.
szerkesztése benyújtása
Ciklikus diagram ciklusos csoportok a következők n -storonnimi poligonok, azok elemek vannak elrendezve a csúcsokat. Az árnyékolt csúcs jelöli a semleges eleme a csoport és a többi elemek vannak elrendezve egy kört növekvő sorrendjében a formázó elem.
endomorfizmusok szerkesztése
A endomorphism gyűrűs csoport izomorf a csoport maga, mint egy gyűrű. Ez izomorfizmus r szám megegyezik endomorphism, amely összehasonlítja az összeg az elem r annak példányok. Egy ilyen térkép bijekciót. akkor és csak akkor, ha R viszonylag prím n. úgy, hogy a automorfizmus csoportja izomorf .cs: Cyklická grupa eo: Cikla Grupo ő: חבורה ציקלית hu: Ciklikus Csoport nl: Cyclische groep pl: Grupa cykliczna sr: ciklikusság grupa sv: Cyklisk grupp vi: Nhóm ciklikus