Bernoulli-egyenlet Online
Differenciálegyenlet y „+ A0 (x) y = b (x) y n nevezzük a Bernoulli-egyenletből.
Mivel az n = 0 kapunk egy lineáris egyenlettel, és ha n = 1 - elkülöníthető változók, akkor feltételezzük, hogy n ≠ 0 és n ≠ 1. elosztva mindkét oldalán (1) y n. Aztán elindultunk, mi van. Behelyettesítve ezt a kifejezést, megkapjuk, vagy ezzel ekvivalens, Z „+ (1-n) A0 (x) Z = (1-n) b (x). Ez egy lineáris egyenlet, amely tudjuk, hogyan kell megoldani.
1. példa: Find általános egyenlet megoldása y „+ 2xy = 2xy 3. Ez a Bernoulli-egyenlet n = 3. Elosztjuk mindkét oldalán y 3, akkor majd a változást, és így az egyenlet átírható -z „+ 4xz = 4x. -Egyenlet módszerével variációs tetszőleges állandók. Kapunk hol, mit is ugyanaz.
2. példa y „+ y + y 2 = 0
y „+ y = -y 2
Osszuk 2 y
y „/ y 2 + 1 / y = -1
Azt, hogy a változás:
Z = 1 / y n-1. azaz Z = 1 / y 2-1 = 1 / y
Z = 1 / y
Z '= -y' / y 2
Kapunk: -z '+ z = 1 és Z' - Z = 1
Továbbá meg kell találni, és Z kifejezett rajta y = 1 / z.
3. példa xy „+ 2y + x 5 y 3 E X = 0
Határozat.
a) A határozat szerint a Bernoulli-egyenlet.
Képviseletében a: xy „+ 2y = -x 3 5 y e x. Ez Bernoulli-egyenlet n = 3. Osztódó egyenlet mindkét oldalát 3 szerezni y: xy „/ y 3 + 2 / y 2 5 = -x e x. Szubsztitúciós: Z = 1 / y 2, akkor Z '= - 2 / y 3, és ezért a egyenlet átírható, mint: -xz' / 2 + 2z = -x 5 e x. Ez a nem-homogén egyenletet. Tekintsük a megfelelő homogén egyenlet: -xz „/ 2 + 2z = 0
1. egyenlet segítségével, megkapjuk: Z „= 4Z / X
Integrálása, megkapjuk:
ln (Z) = 4ln (Z)
z = x 4. Miközben most az oldatot az eredeti egyenlet formájában: y (x) = C (X) X 4. y '(x) = C (x)' x 4 + C (x) (x 4) '
-X / 2 (4C (x) x 3 + C (x) „x 4) + 2y = -x e x 5
-C (X) 'x 5/2 = -x e x 5 vagy C (X)' = 2e x. Integrálása, kapjuk: C (X) = ∫2e x dx = 2e x + C
A feltétel az y (x) = C (x) y, megkapjuk: y (x) = C (x) y = x 4 (C + 2e x) vagy y = Cx + 2x 4 4 e x. Mivel Z = 1 / y 2 kapjuk: 1 / y 2 = CX + 2x 4 4 E X
b) a határozatot a változás változók
y = uv
x (u'v + UV „) + 2uv + x 5 u 3 v 3 E X = 0
v (x u '+ 2u) + XUV' + x 5 u 3 v 3 E X = 0
a) xu „+ 2u = 0
vagy ln (u) = ln (x -2). Ahol u = x -2
b) XUV „+ x 5 u 3 v 3 E X = 0
x x -2 V „+ x 5 x -6 V 3 E X = 0
v „/ x + V 3 E X / X = 0
v „+ V 3 E X = 0
