Bernoulli-differenciálegyenlet megoldási módok
Meghatározása a Bernoulli-egyenlet. A módszerek megoldására differenciálegyenletek Bernoulli hozza a lineáris egyenlet, és a módszer a Bernoulli. Egy példa a részletes megoldások Bernoulli egyenlet módszer.
Bernoulli differenciálegyenlet - az egyenlet a következő formában:
. ahol n ≠ 0. n ≠ 1 p és q - X függvényében.
Megoldás Bernoulli differenciálegyenlet azáltal, hogy a lineáris egyenlet
Tekintsük az eltérés Bernoulli-egyenlet:
(1)
ahol n ≠ 0. n ≠ 1 p és q - X függvényében.
Ossza el y n. Amikor y ≠ 0, vagy n <0 имеем:
(2).
Ez az egyenlet csökkenti a lineáris változást változók:
.
Megmutatjuk ezt. A szabály szerint kell különbséget összetett funkció:
;
.
Behelyettesítve (2) és a transzformáció:
;
.
Ez - lineáris. viszonyított z. differenciálegyenlet. Miután a megoldások, amikor n> 0 figyelembe kell vennie az esetben y = 0. Ha n> 0. y = 0, mint egy egyenlet megoldása (1), és tartalmaznia kell a válasz.
A döntés szerint a Bernoulli
Ez az egyenlet (1) is megoldható Bernoulli. Erre a célra, akkor keressenek megoldást az eredeti egyenlet, mint a termék két funkciója van:
y = u · v,
ahol u és v - függvénye x. Deriválva x:
y '= u' v + u v”.
Behelyettesítve az eredeti egyenlet (1):
;
(3).
V Ahogy vesszük minden nem nulla egyenlet megoldása:
(4).
Egyenlet (4) - ez egy egyenlet több változót. Megoldani, és talál egy adott megoldást v = v (x). Behelyettesítve egy adott megoldást (3). Mivel kielégíti az egyenletet (4). a kifejezés zárójelben eltűnik. kapjuk:
;
.
Ahol V - a már ismert X függvényében. Ez az egyenlet több változó. Találunk általános megoldás, és velük együtt a fenti egyenlet y = uv.
Példa megoldások Bernoulli differenciálegyenlet
egyenlet megoldásához
Első pillantásra úgy tűnik, hogy ez a differenciálegyenlet nem olyan, mint a Bernoulli-egyenlet. Ha feltételezzük, hogy a független változó x, és y - függő (azaz, ha y - függvénye x), akkor ez így. De ha feltételezzük, hogy a független változó az y és x - függő, akkor könnyen belátható, hogy ez - a Bernoulli-egyenlet.
Tehát úgy véljük, hogy x függvénye y. Mi helyettesítheti, és szorozzuk meg:
;
;
(A.1).
Ez - Bernoulli egyenlet n = 2 az eltér a fent tárgyalt, a (1) egyenlet. Csak kijelölése változók (x helyett y). Megoldott Bernoulli. Azt, hogy a helyettesítés:
x = u v,
ahol u és v - funkciója y. Differenciálás tekintetében y:
.
Mi helyettesíti (A.1)
;
(A.2).
Keresünk bármilyen nem zéró funkció v (y). kielégíti a következő egyenletet:
(A.3).
Megosztott változók:
;
;
.
Legyen C = 0. mert van minden olyan megoldást a (3) egyenlet.
;
.
Helyettesítő az (A.2), figyelembe véve, hogy a kifejezés a zárójelben nulla (mert a (A3)):
;
;
.
Megosztott változót. Ha u ≠ 0, van:
;
(A.4);
.
A második integrál hogy a helyettesítés:
;
.
Integrálódni részből áll:
.
Helyettesítő az (A4):
.
Menj vissza az x változó:
;
;
.