Az összeg és a kereszteződés altér
Az összeg és a kereszteződés altér. Direkt összege altér.
Legyen L - vektortér F felett az A és B - annak altér. Összege altér A és B jelentése a beállított A + B = a + b | és A, B B>.
1. példa a síkban vektorok feküdt az x tengelyen. alkotják altér A; vektorok fekvő OY tengelyen. B. A felállított altér A + B egybeesik, amint ellenőrzésével kell igazolni engedélyezze A + B és az A + B
Teorema.Summa altér és a lineáris térben L annak altér.
1. Basis mennyisége altér A = B = egybeesik alapján vektorokkal a rendszer.
2. A dimenziója A + B egyenlő rangot rendszer vektorok.
2. példa A lineáris altér adott térben A4 és A = B =, ahol k = (1, 2, # 8209; 1, 3). = (2, 1, 4, 2). = (4, 5, 2, 8). = (6, 6, 6, 8). = (5, 4, 7, 7). = (4, 2, 8, 6). Keressen egy alapot, és a dimenziója altér A + B
Határozat. Találunk alapján az A és B Mi az alapja a mátrix M és N keres a fokozatok. M mátrixot a koordinátáit a vektorok sorok. N mátrixot a koordinátáit a vektorok sorok.
A vektorok alapját alkotják A. t. K. A koordinátái ezen vektorok áthaladnak alapján kisebb M2.
A vektorok alapját alkotják B. t. K. A koordinátái ezen vektorok áthaladnak alapján kisebb M2.
Akkor a + b =
Ezért R (H) = 3. Mivel alapján kisebb tartalmazza koordinátáit a vektorok ,, b1 alapján az A + B tartalmaznak vektorokat ,,, dim (A + B) = 3.
Altereinek metszéspontja az A és a lineáris tér L halmaza.
Tétel. A kereszteződés lineáris altér L jelentése egy altér L.
Tétel. Dimenziója a altér összeg megegyezik az összege szempontjából dimenzió nélküli dimenziója a kereszteződés, azaz a. E.
Ebből a képletből megtaláljuk a méretet B:
Mivel a méretei a alterek a jobb oldali, képesek vagyunk, hogy megtalálja, akkor ez a képlet megtalálható dim (A B).
3. példa altér A és B a 2. példa, hogy megtalálják a dimenziója a altér alapot és B.
Határozat. Azt találtuk, hogy dim (A + B) = 3. dim (A) = 2. dim (B) = 2. Behelyettesítve a (1) képlet, van:
Így, dim (A B) = 1. Most is, hogy megtalálják a alapján B. Ehhez nem nulla vektor elég, hogy megtudja, B, és ez lesz az alapja az A B.
Írja ezt az egyenlőséget komponensenként, megkapjuk egy lineáris homogén egyenletek az ismeretlen.
Mi megoldjuk a rendszer Gauss:
Mi található a nulla részleges megoldást a rendszer, amely egy ismeretlen szabadon s2 nulla értéket, például s2 = 1.
Ha az érték van kiválasztva változók s2 t1 = t2 = 1 és 2. Írja be az x vektor:
Találtunk egy nemnulla vektort a kereszteződés egy B, ez az alapja a altér A B. A B =.
Ha altér az A és B kapnak homogén rendszerben, a kereszteződés A B fogja meghatározni az egyenletrendszert kombinálásával nyert összes ilyen rendszerek. Bármilyen alapvető rendszer megoldások egy ilyen rendszer az alapja a kereszteződés egy B.
4. példa Legyen a altér az A és B, illetve az adott rendszerek egyenletek
Keresse alapon dimenzió altereinek A + B és B.
Altér által meghatározott rendszer
Ahhoz, hogy megtalálja A + B meghatározza az alapot (FSS rendszer ()), és a B bázis (DCF egyenletek ()). Problémák a rendszer (). SRF áll egy oldatok (n # 8209; r = 4 # 8209; 3 = 1), - az alapvető ismeretlenek - szabad ismeretlen. Kapunk egy rendszer rendszerek ():
Mi megoldjuk a rendszer Gauss:
FSS: vagy (231, # 8209; 627, 1111, 506). A alapján a tér - a vektor (231, # 8209; 627, 1111, 506) = a.
Problémák a rendszer (). SRF áll két oldat (n # 8209; r = # 8209 4 2 = 2). A fő ismeretlen - ingyenes -.
Ennek alapján az altér vehet a vektorok
Lássuk, hogy a rendszer a vektorok lineárisan függő vagy lineárisan független.
R (H) = 3. A rendszer a vektorok lineárisan függetlenek, ez az alapja a (A + B).
Találunk dimenzió kereszteződés (A B) altér.
3 = 2 + 1-dim (A B). dim (A B) = 0, A B = 0. Nincs alapja. Ahhoz, hogy megtalálja a kereszteződésekben a altereinek A B alapján kell megoldani egyenletrendszert
r (k) = 4r = N rendszer csak a triviális megoldás. Ezért, A B = 0. Az alapot a altér A no.
Legyen L van altér az A és B Lehet, hogy AB = 0. Akkor az összeg a altér A + B jelentése közvetlen összeget, és jelöljük az A + B = AB.
Subspace A + B a H. H = A + B H. Ezután rögzített: AV = H, ha H = L, akkor L = az A és B azt mondják altér H (lineáris tér L) a közvetlen összege altér A és B. Ha L = az AV altér az A és B úgynevezett közvetlen kiegészítik egymást a térben L.
Tétel. Az összeg a altér az A és B akkor és csak akkor, ha egy egyenes vonal, amikor a dimenziójának összege az altér az A és B összegével egyenlő a méretei a szempontból, vagyis. E.:
6. példa altér az A és a 4. példa B tartalmazhatnak közvetlen összege, mert A B = 0.