Sum és metszéspontja vektorterekben „Lineáris algebra
4. igénypont szerinti. Sum és metszéspontja vektor terek.
Definíció. Legyen M - tetszőleges vektor altér. És az összeg M halmaza
Megjegyzés. Az metszéspontja vektorterekben megérteni a kereszteződés készletek.
Tétel. Az összeg a vektor és a kereszteződésekben altér a V vektortér egy vektor altér a vektor tér V.
Bizonyítás. Legyen L és M - tetszőleges vektor altér a V vektortér, - kereszteződés - ezek összege.
1) Legyen - tetszőleges vektorok. Akkor, és. Mivel egy zárt altér tekintetében hozzáadásával vektorok és szorzás egy vektor egy skalár:
ami azt jelenti, hogy
azaz Ez egy vektor altér.
2) 1) Let - tetszőleges vektorok. Ezután
, , hol. Mivel egy zárt altér tekintetében hozzáadásával vektorok és szorzás egy vektor egy skalár:
ami azt jelenti, hogy
azaz Ez egy vektor altér.
Tétel. (A dimenziójának összege vektor terek.)
A méret összege vektorterekben egyenlő összegű méreteiket mínusz a dimenziójáról való kereszteződés:
Bizonyítás. Legyen L és M - tetszőleges vektor altér a V vektortér, - kereszteződés - ezek összege. jelölésére:
Mivel a nyilvánvaló terjed ki:
akkor. Célunk az, hogy bizonyítani egyenlőség:
Hagyja, - a kereszteződés alapján. Mivel a kereszteződés, amelynek alapja lehet terjeszteni a alapján a tér L. Let
Hasonlóképpen, a kereszteződésekben a alapján ki lehet terjeszteni a alapján M. Let
- alapján a M. fogjuk bizonyítani, hogy
- alapján, amely azt jelenti, azt bizonyítja, (2).
Először azt bizonyítják, hogy a rendszer vektorok (3) egy altér generáló rendszer.
Let - véletlen vektor, hol. Mi bővíteni a vektorok x és y alapján a vektor altér L és M:
, azaz Rendszer (3) is van egy vektor altér.
Most bebizonyítjuk, hogy a rendszer (3) lineárisan független. enged
Aztán, azaz a Ezért, a vektor x lehet bontani keresztezéssel alapján:
ami arra utal, egyenlőség:
Mivel a rendszer alapját az altér M, akkor lineárisan független, ebből következik, hogy. Ebből viszont az következik, hogy
A rendszer alapja az altér L, azaz lineárisan független rendszer, ezért
Így a rendszer (3) van a nulla csak vektorral triviális, és így lineárisan független, QED
Hasonlóan definiáljuk kijelölt mennyiségét bármely véges számú vektor altér.
Definíció. Hagyja, - a alterét vektortér V. A szett
Ez az úgynevezett összege vektor terek.
Mint fent, be tudjuk bizonyítani, hogy az összeg a vektor altereinek V is egy vektor altér vektortér V.