Az inverz mátrixot
Az inverz mátrixot az csak négyzet mátrixok.
1. Definíció. B mátrix inverze a mátrix, ha AB = BA = E.
A mátrix inverz nevezzük reverzibilis. Az inverz mátrixot jelöli A 1.
Tulajdonságai az inverz mátrix.
1 ˚. Ha B inverzet, akkor A jelentése az inverz B.
Ennek bizonyítéka az ingatlan közvetlenül következik a meghatározás. Így van (A-1) -1 = A
2 ˚. Ha az A mátrix létezik inverze, akkor egyedi.
Bizonyítás. Legyen X és Y - két inverz A. Ezután XA = AX = E és YA = AY = E.
Tekintsük X (AY) = XE = X.
Másrészt X (AY) = (XA) Y = EY = Y.
Következésképpen X = Y.
3 ˚. Ha a A és B mátrix fordított, akkor AB visszafelé, és (AB) -1 = B -1 A -1.
Egy explicit formulát a fordított mátrixba.
Adott egy mátrix
Tegyük fel, hogy az A mátrix egy nem nulla meghatározó. Ezután, az inverz egy mátrix is található a képletű
ahol - a meghatározója A - algebrai elemek mellett
mátrix A. Azaz, = Továb- meghatározó nyert meghatározója a mátrix törlésével az i-edik sorának és j-edik oszlop.
Annak bizonyítására, hogy ez a képlet az inverze A, meg kell mutatni, hogy a. Mi ezt egy mátrix rend 3. (Az általános esetben a bizonyítás pontosan ugyanaz).
=
Itt a fő diagonális az összege termékek eleme a j-edik oszlop által kofaktorok, majd a tétel a tágulási bármely oszlopában ez a kifejezés megegyezik a meghatározója a mátrix A. kívül a fő diagonális az összege termékek eleme a j-edik oszlopának a kofaktorok elemeinek k az oszlop (a helyén kj), amely nullával egyenlő a tétel a tágulási bármely oszlopban.
Alkalmazzuk a tétel a bővülés minden sorban.
Például, ++ = 0kak összege termékek elemek az első sorban a kofaktorok, hogy az elemek a második sorban, 0kak + = összege termékek elemek a harmadik sorban a kofaktorok, hogy az elemek a második sorban, + + = a összege a termékek elemek a második sor (a) a kofaktorok, hogy az elemek a második sorban.
1. Tétel A determinánsát termék mátrixok a termék a determinánsok.
2. Tétel (invertibility teszt). Matrix van egy inverz akkor és csak akkor, ha determinánsa nem nulla.
Bizonyítás. Szükségszerűség. Hagyja, hogy a mátrix van egy inverze. Aztán. Ezután det, Dete = 1. det = DETA (a teoreme1). ezért
DETA = 1. Tehát DETA.
Megfelelősége. Hagyja, hogy a meghatározója A eltér 0. Ekkor
Eszközök inverz mátrix létezik.
Megtalálása egy inverz mátrixot a Gauss módszer.
Tekintsük a következő transzformációs mátrix a:
helyet cserél 2-es vonal
szorozza meg a sort egy nem nulla szám
bármely vonal hozzá újabb sor, szorozva tetszőleges számú.
Végzésével A mátrix n rendelni az identitás mátrix az ugyanabban a sorrendben
Alkalmazás a mátrix (A | E) Gauss' módszer (leírthoz hasonló a számítás a meghatározója a Gauss módszer) úgy, hogy az A mátrix a helyén, hogy megkapja az identitás mátrix. Mi történik, ebben az esetben a mátrix E a helyszínen lesz inverze A. Lehetőség van kizárólag átalakítani szálakat.
1. példa igazolja, hogy a mátrix Aobratima és megtalálni annak inverzét
(Mátrix-kapcsolódási módszer).
Kiszámítjuk a meghatározó DETA = 64 + 25-70 - 24 = -5 0.T.k. meghatározó nullától eltérő, akkor A van egy inverze, azaz visszafordítható.
2. példa. Hogy oldja meg a mátrix-egyenlettel AX + B = C, ahol A =
Compute detc = (-2) (- 4) - (-1) (- 7) = 8 - 7 = 10
DETA = (-2) (- 3) - 15 = 6 - 5 = 10.
Ezért mátrix C és A - reverzibilis. Keressük az egyenlet a mátrix H.