Tulajdonságaira vonatkozó pozitív definit mátrixok folyóiratban megjelent „fiatal tudós”
Legyen a készlet komplex számot, - Descartes-szorzat, és több mátrixok komplex elemekkel.
Ha a mátrix egyenlőtlenség teljesül minden, akkor a mátrixot nevezzük pozitív definit. Ha ez az állapot minden nem nulla, akkor a mátrix az úgynevezett szigorúan pozitív definit.
Ha a mátrix pozitív, akkor azt mondjuk, hogy.
Ha minden egyenlőség, akkor a mátrixot nevezzük Hermitian vagy önadjungált.
Íme néhány tény a pozitív definit mátrix.
Állítás 1. A mátrix pozitív, ha és csak akkor, ha hermitikus és sajátértékek minden nemnegatív. Mátrix szigorúan pozitív, ha és csak akkor, ha hermitikus és sajátértékek mind pozitívak.
2. állítás A mátrix pozitív, ha és csak akkor, ha hermitikus és fő kiskorúak nem negatív. Mátrix szigorúan pozitív, ha és csak akkor, ha hermitikus és fő kiskorúak mind pozitívak.
Állítás 3. A mátrix pozitív akkor és csak akkor létezik olyan mátrix, melyre. Mátrix szigorúan pozitív, ha és csak akkor, ha a mátrix nem szinguláris.
Állítás 4. A mátrix pozitív akkor és csak akkor van egy pozitív mátrix, hogy. Mátrix szigorúan pozitív akkor, ha a mátrix szigorúan pozitív.
Megjegyezzük, hogy a Proposition 4, a mátrix az egyetlen, és az úgynevezett négyzetgyöke a mátrix és jelöljük.
Legyen euklideszi tér, T. E. A lineáris tér egy belső terméket.
1. Tétel A mátrix pozitív, ha, és csak akkor, ha létezik elemek olyan, hogy,
.
Mátrix szigorúan pozitív akkor, ha az elemek lineárisan függetlenek.
Tekintsük a példát 1. Tétel.
1. példa Tegyük fel, hogy rögzített pozitív valós számok. Definiáljuk a mérete mátrix elemeinek
.
Ez a mátrix az úgynevezett Cauchy mátrix. Aztán kapcsolatban
.
Ha akkor, és minden megvan a egyenlőség, ahol az egyenlőség tételek
.
Az 1. Tétel, a mátrix pozitív.
Ha pozitív hermitikus mátrix, szintén pozitív hermitikus mátrixot. A termék a mátrixok hermitikus akkor és csak akkor, ha a mátrix és kommutatív.
A mátrixot az úgynevezett szimmetrikus terméket mátrixok. Ha a mátrix és Hermitian, ez is hermitikus. Általánosságban elmondható, hogy a pozitivitás a mátrix és nem mindig jelenti azt, pozitív mátrix.
2. példa Annak meghatározására, bármely Hermitian mátrix
, .
Nyilvánvaló, hogy ha a mátrix pozitív definit. Minden elem van az egyenlő
.
Jelölje meg az az érv egy komplex szám. Aztán ott van az egyenlő. Ezért a kvadratikus alak van írva, mint. Így, ha a mátrix nem pozitív definit. Definíció szerint, már az egyenlőség
,
következésképpen minden egyes eleme van az egyenlet
.
Ebben az esetben, ha közel van a nullához, és közel 1, ha a mátrix nem pozitív. Például, egy elem egyenlet teljesül. Ha fel, majd.
Hagyja Hermitian és szigorúan pozitív. Ha a termék egy szimmetrikus pozitív (szigorúan pozitív), akkor a mátrix szintén pozitív (szigorúan pozitív).
Alapvető kifejezések (automatikusan generált). egyenlőség, pozitív hermitikus mátrix hermitikus mátrix definiált mátrixok pozitív mátrix, pozitív hermitikus mátrix, több mátrixok, fő kiskorúak, szimmetrikus mátrix termék, négyzetgyök mátrix, sajátérték, fő kiskorúak pozitív kommutatív mátrix, pozitivitás mátrix valódi pozitív a számot, a fő kiskorúak nem-negatív, pozitív mátrix, a termék a mátrix, amelynek sajátértékek nem-negatív sajátérték pozitív.