Alapképletek kombinatorika
Ebben a részben zaymomsya megszámoljuk a „véletlen”. A több esélye, hogy mondjam, ha több lehetséges kimenetele kereset (eltávolítja a kártyát a pakliból, feldobja a kocka vagy érme). A több esélye # 151; a számos módon csinálni ezt a műveletet, vagy ezzel ekvivalens, a számos lehetséges eredmények ezt az intézkedést.
Legyen az egyik intézkedés lehet tenni öt módon, és a többi # 151; két. Hányféleképpen lehet tenni egy pár ilyen intézkedések?
1. Tétel Legyen A halmaz elemeinek, és több # 151; az elemek. Ezután gőzt lehet kialakítva, hogy pontosan, figyelembe az első elem a több, és a második # 151; a készlet.
1. Megjegyzés: meg tudjuk fogalmazni 1. tétel a következő: ha az első elem megadhatja, hogyan, és a második elem # 151; módon, egy pár példány lehet választani módon.
Bizonyítás. Az elem tudjuk párokba. Ugyanez párok száma képezhető az elem, az azonos # 151; A elem és bármely más elem készlettel. Ie az összes lehetséges pár, amelyben az első elemet a több, és a második # 151; a készlet.
1. gyakorlat használata 1. tétel azt mutatják, hogy: a) ha az érme dobás három lehetséges 2 · 2 · 2 = 8 különböző eredményeket; b) egy öntészeti kétszer kapjunk 6 · 6 = 36 különböző eredményeket; c) háromjegyű számok 9 × 10 × 10 = 900; g) háromjegyű számok, mind a számok eltérőek, van egy 9 × 9 × 8; d) háromjegyű számok is lehetséges, 9 · 10 · 5.
Van urna (doboz), amely számozott objektumok (gömbök). Mi választjuk ki ebből urna golyó; A szelekció következtében egy sor golyót. Mi érdekli hányféleképpen lehet kiválasztani a golyókat, vagy hogy hány különböző eredményeket megtörténhet. Ez a kérdés nem határozott választ adni, amíg meg kell határozni: a) hogyan kell a választások szervezése (akár golyót is vissza a dobozba) és b) hogy mit értünk a különböző választási eredményeket.
Tekintsük az alábbi lehetséges módszerek a választás.
1. Válogatás a visszatérés: minden labdát viszi vissza az urnába, minden következő labdát választható a teljes doboz. A kapott készlet golyókat szobák találkozhatunk ugyanazokkal a számokkal. 2. Választás nincs visszaút: az eltávolított golyó az urna nem küldjük vissza, és az eredményként kapott nem felel meg ugyanazokat a számokat.
Feltételek, a kiválasztás (készlet golyókat szoba), figyelembe vesszük más. Vannak pontosan két lehetőség van.
1. Válogatás a sorrendben, figyelembe véve: a két golyó szoba akkor különböző, ha azok eltérnek az összetétel vagy számsorrendben. Így kiválasztja a három golyó a urn tartalmazó 5 golyó, a készletek (1, 5, 2), (2, 5, 1) és (4, 4, 5) különböző, ha a megbízás tekinthető. 2. kijelölése kivételével érdekében. két golyó szoba akkor különböző, ha azok eltérnek az összetétele. Készletek, különböző csak a számok sorrendjében tekinthető egyenlőnek.
Így a készletek (1, 5, 2) és a (2, 5, 1) nem különböznek formában egy és ugyanazon kiválasztási eredményt, ha a megbízás nem tekinthető.
Kiszámítja, hogy hány különböző lehetséges eredménye a négy kiválasztási áramkörök (kiválasztás vagy anélkül vissza, és minden esetben # 151; figyelembe véve a megbízás vagy sem).
2. gyakorlat listája minden lehetséges eredmények mind a négy áramkörök, amikor a négy közül két ballonok. Például, adja meg a visszatérés, és tekintet nélkül a sorrendben (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) (2, 2), (2, 3), (2, 4) (3, 3), (3, 4), (4, 4).
2. tétel teljes száma különböző készletek, amikor kiválasztja az elemeket a visszatérő és nem veszi figyelembe a megrendelés értéke
és az úgynevezett elhelyezések számát az elemek az elemek.
Bizonyítás. Az első labda kiválaszthatja az utat az ő száma # 151; bármelyik lehetséges. Bármilyen választás az első golyó van egy módja annak, hogy válassza ki a második labdát. Az 1. Tétel száma lehetséges pár
egyébként. Minden ilyen pár a módszert választani a harmadik labdát. By 1. tétel a számos lehetséges háromágyas
egyenlő a párok száma, valamint a több módot választotta a harmadik labdát, azaz egyébként. Folytatva az érv, azt találjuk, hogy az összes lehetséges készletek golyó egyenlő. Ebben a munkában a tényezőket utóbbi tényező a számos módon választja th labdát, amikor a korábban kiválasztott.
Következmény 1. Ha a készlet elemeit, akkor pontosan a permutáció ezen elemek.
Bizonyítás. permutáció # 151; visszatérés nélkül a választási eredmény, figyelembe véve a megbízás az elemek. Ezért a permutációk száma azonos
3. gyakorlat milyen sok különböző lehetséges eredményeknek az alábbi kísérletek: a) egy pakli 36 kártyát, ahonnan nincs visszatérés, figyelembe véve a megbízás eltávolítjuk három kártyát; b) John, Peter Olya és Lena vett néhány tízből négy helyet az osztályban; c) a magyar ábécé választhat négy különböző betűk alkotják a szavakat; r) a különböző számjegy nem nulla, a háromjegyű szám levonni.
3. tétel A teljes száma különböző készletek tételek kiválasztására nincs visszaút és az egyenlő tekintet nélkül a rend
és az úgynevezett a kombinációk száma az elemek az elemek.
Bizonyítás. Következmény 1. A különböző számú golyó eddig módon. Ezért mindegyik kiválasztott csere nélkül és tekintet nélkül arra, hogy a megrendelés, akkor alkotnak készletek, amelyek eltérnek egymástól a számok sorrendjében. Ie kiválasztásában, nem tér vissza, és figyelembe véve a megbízás lehetséges szor több készletek, mint amikor kivételével érdekében. Ezért a készletek a kiválasztási figyelembe vétele nélkül a sorrend megegyezik
4. gyakorlat milyen sok különböző lehetséges eredményeknek az alábbi kísérletek: a) egy pakli 36 kártyát nélkül vissza, tekintet nélkül annak érdekében, hogy ki három lapot; b) A magyar ábécé dobja négy betű.
4. Tétel száma összesen különböző készletek, amikor kiválasztja az elemeket a visszatérés, és figyelembe véve a megbízás értéke.
Bizonyítás. Az első labda megadhatja módon. Ezekkel az eljárásokkal a második labdát is lehet választani módon, és így időben. A csomagok száma azonos.
5. gyakorlatban milyen sok különböző lehetséges eredményeknek az alábbi kísérletek: a) egy pakli 36 kártyát húzza ki a kártyát háromszor, figyelembe véve a rend és a visszatérő; b) egy ötjegyű számot húzott egy páratlan számok; c) a majom gépelt szó tíz leveleket.
Tekintsünk egy urna két számozott golyó, és sorolja az eredményeket a válogatott két golyó ebből urnát a kiválasztást a visszatérés.
figyelembe véve a megbízás
tekintet nélkül a rend
Látjuk, hogy a rendszer „tekintet nélkül az, hogy az” kap három különböző eredményeket, ellentétben a négy eredményeket a rendszer, „tekintettel a rend”. Megjegyezzük továbbá, hogy minden osztás „a száma, amit néhány permutációk”, ami segített megszabadulni a számla a választás, ahonnan nincs visszatérés, a 3-as számú, a 4-es számú nem lesz képes fogadni.
5. Tétel száma összesen különböző készletek, amikor kiválasztja az elemeket a visszatérő és az egyenlő tekintet nélkül a rend
Gyakorlat 6. Ellenőrizze, hogy a menetek 3 simán.
Bizonyítás. Úgy véljük, részletesen különböznek egymástól két különböző eredményeit kiválasztási áramkör. Nem érdekel a sorrendben a számok, azaz figyelembe vesszük, csak az, hogy hányszor mi számsor tűnt golyók minden szobában. Ezért a választási eredmény is képviseli egy pár számot, ahol # 151; az előfordulások számát egy meghatározott számú golyó, és. A számok, mint az. Két kiválasztás eredményeiről a kiválasztási áramkört a visszatérés és nem veszi figyelembe a sorrend más, ha a megfelelő készlet nem egyeznek (a sorrend a figyelembe vett elemek).
Képzeld másik kísérletben, mely pontosan ugyanazt az eredményt, és számoljuk meg őket. Vannak dobozok, amelyek helyezett labdákat. Mi érdekli csak a golyók számát mindegyik dobozban. A kísérlet eredményét ismét a számsor, ahol a golyók számát egy dobozban egy számot, és. Számok vegye egész értékek vagy nulla.
Most ábrázolják az eredménye az ilyen elhelyezés egy áramkör, ahol a függőleges vonalak jelzik a partíció között a dobozok és a pontoknak # 151; labda a dobozok:
Látjuk az eredményt az elhelyezés kilenc golyókat hét fiókkal. Az első doboz tartalmaz három golyót, a második és a hatodik ládák üresek, a harmadik fiók tartalmaz egy labdát a negyedik és az ötödik doboz nyugszik két golyó. Shift egy labdát, az első mezőben a második és ábrázolják ugyanezen a módon még az eredmény, hozzátéve:
Látjuk, hogy az összes szállás nyerhető megváltoztassák egymás labdák és falak, vagy forgalomba golyó a földre. A szám a következőképpen állítjuk elő: A doboz pontosan egy partíciót, a két szélső, de lehet csak mozgatni a belső válaszfalak. Így vannak olyan helyek, lehet kölcsönözni golyó, vagy a belső válaszfalak. Után megy keresztül, minden lehetséges módon, hogy gondoskodjon a golyókat ezeken a helyeken (kitöltése a maradék helyet partíciók), végiglépdelni szükséges szállást.
Továbbra is megjegyezni, hogy az utat a helyét a labdát a földre, ott
Hogy olyan sokféleképpen lehet választani szobák ülés száma helyek labdákat.
7. feladat a) Mekkora a számos módon lebomlanak értéke egy összege nemnegatív jelenti, hogy ha a fontossági sorrendben ezeket a feltételeket. b) Határozza meg a számos különböző származékai érdekében változók a függvény. c) Mekkora a lehetséges eredmények száma dobált két kockát, ha a csontok tartják megkülönböztethetetlen. Ugyanez vonatkozik a három kocka.