Abstract túlzó (matematika)
-
bevezetés
- 1 története
- 2. Definíciók
- 2.1 kúpszeletek
- 2.2 Amint lókusz
- 2.2.1 keresztül trükkök
- 2.2.2 A direktrixszel és fókusz
- 3 Kapcsolatban meghatározása
- 3.1 kapcsolatok
- 4 egyenletek
- 4.1 derékszögű koordináták
- 4.2 Polárkoordináták
- 5 tulajdonságait
- 5.1 Asymptote
- 5.2 átmérő
- 6 érintők és merőlegesek
- 7, és a görbületi sugara a görbület a hiperbola. evolután
- 8 féle túlzás
- 8.1 hiperbola társított egy háromszög
- 9 Koordinátarendszerek Irodalom
Túlzó és trükkök
Hiperbola (ógörög ὑπερβολή ógörög βαλειν -... «dobja», ὑπερ - «szuper") - a pontok helye M euklideszi sík, melyek abszolút értékének különbsége távolságok M két kiválasztott pont F1 és F2 (az úgynevezett gócok) állandó. Pontosabban,
Együtt az ellipszis és parabola, hiperbola egy kúpszelet és a négyzetes. A hiperbola lehet meghatározni, mint egy kúpszelet rázőasztal egynél nagyobb.
1. Előzmények
A „hiperbola” (görög ὑπερβολή -. Feleslegét) vezette be, Apollonius Perga (körülbelül 262 BCE -...... Ca. 190 BCE), mivel a probléma építésének a pont a hiperbola csökken a problémát az alkalmazás feleslegben .
2. Definíciók
A hiperbola lehet meghatározni többféleképpen.
2.1. kúpos
Három fő kúpos szakasz
A hiperbola lehet meghatározni, mint a pontok halmaza, amely eredményeként jött létre a kúpos rész sík elfogó mindkét oldalán a kúp. Egyéb eredmények metszősík a kúp parabola, az ellipszis és a degenerált esetekben, mint például keresztbe vonalak és a megfelelő pontot, és felmerülő, amikor a vágási sík átmegy a csúcsa a kúp. Különösen a keresztbe vonalak lehet tekinteni, mint egy degenerált hiperbola, amely egybeesik a aszimptotákkal.
2.2. Ahogy locus
2.2.1. a gócok
A hiperbola lehet meghatározni, mint a pontok helye, amelyek távolsága a különbség legfeljebb két megadott pont nevű gócok, azonos, és egyenlő a 2a.
2.2.2. Keresztül direktrixszel és fókusz
A pontok helye, amelyre az arány a távolság a fókusz és az adott vonalon, úgynevezett direktrix folyamatosan egységnél nagyobb, az úgynevezett hiperbola. Mivel állandó ε nevezzük excentricitása hiperbola.
3. Kapcsolódó meghatározása
Aszimptota a hiperbola (piros görbe) kékkel szaggatott vonalak metszik központjában túlzás, C. Két élességállítási túlzás kijelölt F1 és F2. Direktrix vonalak kijelölt hiperbola dupla vastagságú, és kijelölt D1 és D2. A excentricitás ε egyenlő az arány a távolságokat a hiperbola P pont, hogy a fókusz és a direktrix megfelelő (látható zöld). Hiperbola vertex kijelölt ± a.
- A hiperbola két különböző görbéket nevezzük ágak.
- Az egymás mellett szempontjából a két ág a hiperbola nevezzük csúcsot.
- A legrövidebb távolság két ága egy hiperbola hívják főtengelye a hiperbola.
- Mid-nagytengely nevezik központjában túlzás.
- A távolság a központtól a hiperbola egyik csúcsa az úgynevezett főtengelye a hiperbola.
- Távolság a központtól, a hiperbola egyik fókusz az úgynevezett fokális rasstoyaniems.
- Mindkét összpontosítani túlzás hazugság kiterjesztése a nagytengely azonos távolságra a központtól túlzás. Közvetlen tartalmazó nagyobb hiperbola tengelyen az úgynevezett valós vagy a keresztirányú tengely a hiperbola.
- Egy egyenes merőleges a valós tengelyének és a középpontján átmenő nevezzük a képzetes tengelynek vagy konjugátum hiperbola.
- Közötti intervallum a fókuszt, és túlzás túlzás merőleges valós tengelye, az úgynevezett fokális paramétert.
- A távolság a fókuszt a aszimptotáját a hiperbola nevezik hatással paramétert. (Számszerűen egyenlő a hatás paraméter b.)
- Kapcsolatos problémák a mozgás a testek fölött hiperbolikus pályák távolságra a hangsúly a legközelebbi csúcsa a hiperbola nevű pericentrikus távolságot.
3.1. arány
4. egyenletek
4.1. derékszögű koordináta-rendszerben
A hiperbola által adott másodfokú egyenlet derékszögű koordináta (x y.) A sík:
,
Mozgó a központ a hiperbola a származási és forgatva a közepe körül szögben Φ hiperbola egyenletet lehet csökkenteni kanonikus formában
,
ahol egy nagy és egy kis félig-B tengely.
4.2. polárkoordinátás
Ha a pólus a hangsúly a túlzás, a túlzó és vertex fekszik a kiterjesztése a sarki tengely,
Ha a pólus a hangsúly a hiperbola, és a sarki tengely párhuzamos az egyik aszimptotákkal, a
5. tulajdonságok
- Optikai tulajdon. Fény forrástól egyik gyújtópontjában egy hiperbola, a második ága a hiperbola tükröződik, hogy a visszavert sugarak metszik folytatódik, a második téma.
- Minden pont az arány távolságok feküdt a hiperbola ettől a ponttól, hogy összpontosítson a távolság ugyanazon a ponton, direktrixét állandó.
- A hiperbola van tükörszimmetrikusan tekintetében a valós és a képzetes tengely és a forgási szimmetria átfordítható képest 180 ° középpontja körül a hiperbola.
- Valamennyi konjugátumból hiperbola hiperbola. amelyre a valós és a képzetes tengely fordított, de a aszimptóta maradnak. Ez megfelel a cseréje a és b egymásra képlet leírja a hiperbola. Kapcsolás hiperbola nem az eredmény a kezdeti elfordulási szögének a hiperbola 90 °; Mindkét hiperbola különböző formában.
A forma hiperbola teljesen határozza meg ekstsentrisitetomε. amely túlzó mindig nagyobb, mint egy. Számszerűen, az excentricitás az aránya fókusztávolság a fél nagytengely. Továbbá, excentricitás lehet meghatározni, mint az arány a távolságok tetszőleges pontja a hiperbola, hogy a fókusz a távolságot ettől a ponttól a megfelelő párhuzamos egyenes a képzetes tengelynek nevezett direktrixét. Ennélfogva, a távolság a központtól a hiperbola direktrix egyenlő a / ε. Az excentricitás fejezhető ki az értékeket a. b. c és θ a következőképpen:
Például, az excentricitást négyzetes hiperbola, amelynek (θ = 45 °. A = a b)
Bizonyos alkalmazások leírására egyfajta túlzó használatát kúpáiiandót k. amely kapcsolatban van az excentricitás a következőképpen:
Nagysága a fokális paraméter kifejezve nagyobb és kisebb részben tengelyt
5.1. asymptote
Két konjugált hiperbola (kék és zöld) van egybeesik aszimptotákkal (piros). Ezek hiperbolák egység és egyenlő szárú, mivel a = b = 1.
Túlzó, saját kanonikus formában adott, egy pár funkciók:
Corner asymptote aránya megtalálható a következőképpen:
.
Az elmozdulás a függőleges tengely
.
korlátozhatja a keresést az azonos hatás. Ennélfogva, amelyek mindegyike egy pár hiperbola aszimptotákkal. aszimptotákkal egyenletek kanonikus alakban:
Ugyanígy sem tudja bizonyítani, hogy a konjugált túlzás:
Ugyanaz a asymptote.
5.2. átmérő
Átmérő túlzás, mint minden kúpszelet egy egyenes, amely átmegy a felezőpontja párhuzamos akkordokat. Minden irányban megfelel egy párhuzamos akkordok konjugátum átmérője. Minden átmérőjét hiperbola áthalad a közepén. Átmérőjének megfelelő akkordok párhuzamos a képzeletbeli tengely valós tengelyére; átmérője megfelel akkordok párhuzamos a valós tengelynek a képzetes tengelynek.
A lejtőn a párhuzamos akkordok, és a sarokban megfelelő átmérő arány együtthatót társult
Ha az átmérő felezi a húrt párhuzamosan b átmérője. b átmérője metszi akkord párhuzamosan az átmérő egy. Ilyen átmérők nevezzük kölcsönösen konjugált. A fő átmérő nevezzük kölcsönösen összekapcsolt és egymásra merőleges átmérők. Mi túlzás csak egy pár nagyobb átmérőjű - a valós és a képzetes tengelynek.
6. érintők és merőlegesek
Mivel a hiperbola egy sima görbe minden pontjában (x0. Y0) hajthatjuk érintő és normális. Az egyenlet az érintő hiperbola adott kanonikus egyenlet a következő formában:
,
vagy ami ugyanaz,
.
Származtatása az egyenlet az érintő
Az egyenlet az érintő vonal egy tetszőleges sík formában van
Canonical egyenlet a hiperbola is képviselteti magát egy pár funkciók
.
Ezután a származék ennek a funkciónak a formája
.
Behelyettesítve ezt az egyenletet az általános egyenlet az érintő, megkapjuk
Az egyenlet a normális, hogy a túlzás is:
.
Származtatása normál
Az egyenlet egy tetszőleges sík normál vonal formájában
.
Canonical egyenlet a hiperbola is képviselteti magát egy pár funkciók
.
Ezután a származék ennek a funkciónak a formája
.
Behelyettesítve ezt az egyenletet az általános egyenlet az normális, megkapjuk
.
7. A görbülete és a görbületi sugara a hiperbola. evolután
Blue mutatja hiperbola. Zöld - evolután a jobb oldali ág a hiperbola (. Evolután a bal ága az ábrán látható piros kör, a görbület a túlzás az ő tetején.)
A görbület a hiperbola a minden pontjában (. X Y) határozzuk meg a kifejezést:
.
Ennek megfelelően, a görbületi sugár:
.
Tehát, a pont koordinátái (a. 0) egyenlő a görbületi sugár
.
Származtatása a képlet a görbületi sugár
A képlet a görbületi sugár a egyenes vonal, egy előre meghatározott parameticheski a formája:
.
Mi használjuk a parametrikus reprezentáció túlzás:
Ezután az első származéka x és y vonatkozásában t szerint adott
,
és a második derivált -
Behelyettesítve ezeket az értékeket az általános képletű a görbület kapjunk
.
A koordináták a görbületi középpontok definiált egy pár egyenletek:
Behelyettesítve az utolsó sor egyenletek x és y értékek a parametrikus reprezentáció túlzás, kapunk egy pár egyenletek meghatározásához egy új görbét, amely a görbületi középpontok túlzás. Ezt a görbét nevezzük evolután túlzás.
8. típusai túlzás
A hiperbola, amely a = b. az úgynevezett egyenlő szárú. Négyzetes hiperbola egy derékszögű koordináta-rendszer által leírt egyenlettel
ahol a gócok a hiperbola találhatók pontot (a, a) és (-a, -a).
8.1. Hiperbola társított egy háromszög
- hiperbola Enzhabeka - görbe isogonally konjugátum Euler vonal;
- Kipert hiperbola - görbe isogonally közvetlen konjugátum OK, ahol K - Lemoine pont, és az O - a a kör középpontja a háromszög leírt.
Elliptikus koordinátarendszer
9. koordinátarendszerek
A család a konfokális (konfokális) együtt a család a hiperbolák konfokális ellipszis képez két elliptikus koordinátarendszerben. Ezek hiperbola által megadott egyenlet
.
Vannak gócok egy c távolságra a származás, θ - közötti szög valós tengelye a hiperbola és aszimptota. Minden túlzás a családban ortogonális minden ellipszis, amelynek ugyanaz trükköket. Ortogonalitást demonstráltuk konform átalakítása a Descartes-féle koordináta-rendszer w = z + 1 / z. ahol z = x + iy első derékszögű koordináta-rendszer, és w = u + iv ez a transzformálás után.
Más kétdimenziós derékszögű koordinátarendszerben épül a hiperbolák elő lehet állítani más konform transzformációk. Például, az átalakítás a W = Z ² megjeleníti derékszögű koordinátáit két ortogonális családok hiperbolák.