A tétel folytonosságát differenciálható függvények
Tétel. Ha a függvény differenciálható egy pontban a. ez folyamatos ezen a ponton.
Bizonyítás. Definíció szerint a származék
Ez a korlátozás az egyenlőség azt jelenti, hogy a kifejezés alatt a határérték kifejezhető
ahol α (x) - infinitezimális függvény x → a. majd
Ezért, ha x → a.
Megjegyezzük, hogy a differenciálható függvény egy pontján simasága a környék ezen a ponton, ami maga után vonja folytonos függvény egy adott ponton. Azonban ennek az ellenkezője nem igazságos - a funkció tulajdonát folytonosság bizonyos ponton, de nem feltétlenül differenciálható ezen a ponton.
Ábra. 8. Folyamatos egy függvény nem differenciálható ezen a ponton.