A négyzetgyöke komplex szám „Analitikus geometria f (x)
6. igénypontban. Figyelembe négyzetgyöke komplex szám. Formula négyzetgyökei komplex szám.
A jövőben, szükségünk van egy valódi funkció:
Ez a funkció az úgynevezett jele x, és olvassa el a következő: „Signum X”.
Tétel. Let. majd
(7), ahol a tér gyökerei a zárójelben megadott számtani négyzetgyökei pozitív számok.
Bizonyítás. Mint láttuk, pontosan két négyzetgyöke komplex szám, és ezek ellentétes számokat. Hagyja, hogy hol. Akkor sem. Tér a bal oldala az egyenlet, és a feltételek egyenlőségének két komplex szám. kapjuk:
Négyszögesítése egyes egyenletben a rendszer. Adjuk hozzá a második egyenletben az első:
Itt - a szokásos aritmetikai négyzetgyöke egy pozitív valós szám. Továbbá, ha a kapott rendszer egy oldatot, majd az inverz tétele Vieta, és a gyökerek egy másodfokú egyenlet. Találunk a diszkrimináns. Itt van. Mindkét gyökerei másodfokú egyenlet pozitív, mert nyilván. Kiválasztásánál figyelembe a gyökerei (8) egyenlet, azaz. Ebből következik, hogy
. Továbbra is választani a megfelelő jelek előtt jelek gyököket. (8) az következik, hogy. Tegyük fel, akkor, ahonnan bizonyítja képlet. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Határozat. Mi csak bevált formula, hogy gyökereit. Itt van. Helyettesítsük be a képlet, és ezt kapjuk:
Megjegyzés. Nem emlékszem a képlet (7) miatt bulkiness, és használja az algoritmus megoldására a bizonyíték. Mi megoldjuk Ily módon az előző példában.
Let. Aztán. Ez csak akkor lehetséges a valós és képzetes része a két komplex szám. Egyenes két egyenlet a rendszer a négyzet :. Mi adjuk hozzá a második egyenletben az első :. Vonatkozik inverz tétel Térség:
. Mi megoldjuk a másodfokú egyenlet :. Mivel akkor. Elfogadás. Mivel akkor. Kaptunk az egyik gyökerek :. A második gyökér az elsővel szemben.
Természetesen ez a módszer, ellentétben az első, vett egy kis időt, de az algoritmusok emlékeznek jobban formula.
Érdekes lesz speciális esete (7) képletű, amikor a képzetes részét z értéke nulla.
Következmény. Let - tetszőleges valós szám. Aztán ott van a következő képlet szerint:
A bizonyíték nyilvánvaló, hogy helyettesítse a képletet megfelelő (7), és emlékezni, hogy egy aritmetikai négyzet a négyzetgyöke valós szám megegyezik a modulusa :.
Most, ha a (9) képletű megadja mind gyökerei egy pozitív valós szám, és :.
Nem szabad elfelejteni, hogy a négyzetgyöke a bal oldalon a (9) képletű képviseli az összes több gyökerei egy komplex szám, és a tér gyökerei a jobb oldalon a (9) képletű a négyzetgyökei számtani nem negatív valós számok. Rendeltetése azonos, segítségével radikális jel, és a jelentése más.
Most. Ezután a (9) képletű ad egyenlőség. Itt - a számtani négyzetgyöke pozitív szám.
Érdekes a helyzet a négyzetgyök negatív szám. Nézzük megfogalmazni ebben az esetben külön formájában a vizsgálat.
Következmény. Let. Ezután mind a négyzetgyöke száma z megtalálható a következő képlettel:
Megjegyzés. Ügyeljen arra, hogy az utolsó egyenletet:
Igaz egyenlőség, azaz definíció szerint, a készlet minden gyökerei az 1-es szám, míg a hamis egyenlőség, ebből a szempontból! Ezért lehetetlen átvinni a tulajdonságok a gyökerek a valós számok a gyökerek komplex számok, mint az alábbi egyszerű példát.
Példa. Keresse meg a hibát az alábbi átalakítások:
Másrészt, könnyű bizonyítani a következő tétel.
Tétel. (Kb hogy valódi multiplikátor alól a gyökér jel.) Tegyük fel, n - természetes szám. majd
ahol van egy szabályos számtani gyökere egy pozitív szám.
Bizonyítás. (11) egyenlet úgy kell érteni, mint az egyenlő két: - állítsa be az összes gyökerek n-edik hatványa egy komplex szám - a készlet minden gyökerek n-edik hatványa egy komplex szám Z,
Ezért a bizonyítás módszere. Azt bizonyítja, hogy mindkét állnak az azonos elemeket.
Let. Aztán. Ebből következik, hogy. Megfordítva, tegyük. Aztán. Ennélfogva, QED Ez azt bizonyítja, a tétel.
Megjegyzés. Előző következménye lehet levezetni a tétel csak bizonyult.
Következmény. Hagyja, és akkor.
Bizonyítás. Úgy véljük, egy negatív szám, hanem egy komplex szám. Ezután a kívánt egyenlőség azonnal adódik a tétel csak bizonyult :.
Határozat. Vonatkozik csak bizonyult tétel.