A meghatározója négyzetes mátrix
Minden egyes négyzet mátrixot vezettünk fontos annak jellemző számérték az úgynevezett meghatározója ez a mátrix. A szabályt, mely szerint az elemek a négyzetes mátrix tetszőleges sorrendben számított determinánsa elég nehéz, ezért fogjuk be ezt a szabályt „fokozatosan”, a növekvő sorrendben a meghatározó. Amíg korlátozzuk magunkat az ilyen nem konstruktív definícióját.
Minden egyes négyzet mátrix lehet egyesek szerint szabály társítani egy szám, amely az úgynevezett meghatározó (vagy determinánsok) a mátrix. A meghatározója négyzetes mátrix A. perspektivikus nézete, amely
használjanak eltérő jelöléseket.
Mi azt mutatják, a leggyakoribb: det A, D. D (A), vagy a telepített, amely kilistázza az összes mátrix elemeinek
Az egyenes vonalak helyett forduló (mátrix) zárójelben, hogy mit értünk a meghatározója a mátrix, azaz a egyetlen szám, és nem a mátrix A.
Mi kell megközelíteni a szigorú definíció meghatározó, akkor általában úgy egymás számára a meghatározó a mátrixok az 1., 2. és 3. sorrendben.
Meghatározója a mátrix az 1. rend szám megegyezik az egyetlen létező mátrix eleme a mátrixban. Definíció annyira egyszerű, hogy nincs szükség, hogy bemutassa a példáját.
Meghatározója a mátrix sorrendben 2: ha a =. az
Tekintsük a meghatározója a mátrix harmadik poryadkaA =.
Kiszámításához a meghatározó imennotretego eljárás egyszerűsített képlet
amely vázlatosan (a memória) felírható a következőképpen:
- Az első három feltételek (együttesen a + jel)
- 3 tag (együttesen a jel -)
Példa. Keressünk egy egyszerűsített rendszer meghatározója a mátrix.
Annak érdekében, hogy meghatározzák a szabály számítástechnikai meghatározói érdekében 3-nál nagyobb, akkor először be néhány új tárgyakat.
Kisebb mátrixelem aij (jelöljük Mij) az az érték, a meghatározója a kapott mátrix Ez a mátrix törlésével a sor és oszlop, akinek a metszéspont aktív elem (azaz, törlésével az i-edik sor és j-edik oszlop).
A kofaktor mátrixelem aij (jelöljük Aij) egy szám által meghatározott általános képletű
Mivel (-1) a teljes mértékben csak két értéket (1 - ha a kitevő páros szám, és (-1) - ha igaz) a koenzimet mátrix eleme, vagy nem térnek el, hogy a kisebb elem (ha az összeg az indexek - vagyis az összeg a sor és oszlop szám - van egy páros szám), vagy eltér a kisebb csak jele (ha az összeg az alsó indexek nem igaz).
Példa. Keresse a kiskorúak és ko-faktor az összes elem a mátrix
Először elemek keresik kiskorúakat.
Tekintettel képlet és magyarázat erre formula, megkapjuk a következő cofactors
Meghatározója négyzetes mátrix (bármilyen sorrendben!) Egy szám összegével egyenlő a páronkénti termékek az elemek bármilyen sor (oszlop) által kofaktorokat.
Kiszámításához meghatározói mátrixok nagyobb (harmadik) rendelni az egyszerűsített rendszereket, azonban csak a használt megadott módszerrel a definíció: kiválasztott sorban vagy oszlopban a mátrix számítjuk, és az összeget a páronként termékek a megfelelő mátrix elemeinek által kofaktorok. Ugyanakkor algebrai kiegészítések - a leginkább időigényes lépés. De ahogy a vonal (vagy oszlop) választható önkényesen (ennek eredménye független), akkor könnyebb kiválasztani azt, amelyik a lehető legnagyobb mértékben a nulla elemekkel. Így kofaktorok nulla elemek nem tekinthető, mivel a megfelelő kifejezések minden nullával egyenlő viszont páronként termékek előállítására a fent említett összeget.
Példa. Számoljuk ki a meghatározója annak érdekében 4 :.
Határozat. A legnagyobb nullák száma kapcsolatba a sorok vagy oszlopok 2. Ezért számítani a meghatározó válasszon a sor vagy az oszlop két nullát. Úgy döntünk, például az első oszlopban (ebben az esetben azt mondják, hogy a meghatározó bővül az első oszlopban):
Kikelt két meghatározó 3. sorrendben lehet tekinteni a fent egyszerűsített rendszer.
Ha a nulla mátrix elemei között a kis (vagy egyáltalán nem), akkor lehet, hogy konkrét vezet ez a fajta meghatározó, hogy van egy sor (vagy oszlop), amely különbözik a nullától csak egy eleme. Ezután meghatározó bomlási könnyen kiszámítható ezen a vonalon (oszlop). Meghatározó oka az ilyen jellegű segítséget a tulajdonságait meghatározó alább.
1. A meghatározó nem változik, ha átültetés.
2. Ha az egyik sort a meghatározó áll nullák determináns nulla.
3. Ha a meghatározó átrendezni két sor, meghatározó változások aláírására.
4. determinánst tartalmazó két azonos sorban eltűnik.
5. Ha minden eleme egy sor determináns szorozni néhány k szám, a determináns maga szorozva k.
6. determináns, amely két arányos vonal nulla.
7. Ha az összes elemet i-edik sorának az determináns kifejezett összegeként két kifejezés ai J = bj + CJ (j =), akkor a determináns összegével egyenlő a determinánsok, melyek az összes sor, kivéve az i-edik - mint például egy előre meghatározott meghatározó, és az i-edik sora egyik összetevője áll az elemek BJ. egy másik - az elemek cj.
8. determináns nem változik, ha az elemek az egyik vonalak adunk megfelelő elemeivel egy másik sorban szorozva ugyanazt a számot.
Megjegyzés. Minden tulajdonság érvényben marad, ha ahelyett, hogy húrok az oszlopokat.
Meghatározása rangot mátrixban.
Tekintsünk egy derékszögű mátrix m xn. Ha ez a mátrix önkényesen kiosztani k sorral és k oszlopok, az elemek álló metszéspontjában a kiválasztott sor és oszlop alkot egy négyzetes mátrix a rend k. A meghatározó ennek a mátrixnak nevezzük egy kisebb K-edik rendű a mátrix A. Nyilvánvaló, hogy az A mátrix van kiskorúak bármilyen sorrendben 1-től a legkisebb a számok m és n. Az összes nem nulla kiskorúak A mátrix, van legalább egy kisebb, a sorrendben melyik lesz a legnagyobb. A legnagyobb a megrendelések a kiskorúak a mátrix, nullától eltérő, az úgynevezett a rangot a mátrixban. Ha a rangsorban az A mátrix azonos az r. ez azt jelenti, hogy az A mátrix nem nulla kisebb a rend r. de minden kisebb rend nagyobb, mint r. nulla. A rangsorban a mátrix jelöli R (A). Nyilvánvaló, hogy a kapcsolat
0 £ R (A) £ min (m, n).
A rangsorban a mátrixban vagy kiskorúak halogénatommal, vagy elemi transzformációk. Kiszámításakor a rangsorban az első módszert kell váltani az alacsonyabb rendű a kiskorúakra kiskorúak magasabb rendű. Ha már talált Minor D k-edik rendű A mátrix, egy nem nulla, akkor szükségessé számítás csak fiatalkorúak (k + 1) -edik érdekében szegélyeket Minor D, azaz a tartalmú, mint egy kisebb. Ha ezek mind nullával egyenlő, akkor a rang k-val egyenlő.
Példa. Keressen egy eljárás szegély rangot kiskorúak.
Határozat. Kezdjük a kiskorúak az 1. rend, azaz a mátrix elemei A. Válasszunk, például kisebb (elem) M1 = 1 található, az első sor és az első oszlopban. Határolja a második sorban, a harmadik oszlop, a kisebb szerezni M2 =. nulla. Most rátérünk a kiskorúak harmadrendű szegélyeket M2. Csak ketten (akkor
adjunk hozzá egy második oszlop vagy negyedik). Kiszámítjuk ezek: = 0. Tehát minden harmadik rend fringing fiatalkorúak voltak nullával egyenlő. A rangsorban a mátrix egyenlő kettő.
6. elemi mátrix.
Elementary úgynevezett következő transzformációs mátrix:
1) permutáció bármelyik két sor (vagy oszlop)
2) szaporodását sorban (vagy oszlopban) egy nem nulla szám,
3) kívül egy sor (vagy oszlop) a másik sor (vagy oszlop) számmal szorzódik.
Két mátrix nevezzük egyenértékű. ha egyikük nyerik a másikat egy véges halmaza elemi transzformációk.
Egyenértékű mátrixok általában nem egyenlő, de a soraiban egyenlő. Ha a A és B mátrix egyenértékűek, akkor meg van írva, mint: A
Kanonikus mátrix egy olyan mátrixkészítmény, amelyben az elején
fő átlós sorban pár egység (amelyek száma
Ez lehet nulla), és az összes többi elem nulla,
pl.
Elemi transzformációk sorok és oszlopok bármely mátrix lehet csökkenteni kanonikus. Rang kanonikus mátrix megegyezik az egységek száma a főátlójában.
Példa. Keresse meg a rang A =, és vigye el a kanonikus formában.
Határozat. A második sorban és az első kivonó permutálása ezeket a sorokat: .Most a második és harmadik sor első kivonó szorozva 2 és 5 :; A harmadik sorban vonjuk ki a második; Megkapjuk a mátrixot V. amely egyenértékű az A mátrix nyerték azt egy olyan véges halmaza elemi transzformációk. Nyilvánvaló, hogy a rangot mátrix B értéke 2, és így a R (A) = 2. A mátrix könnyen vezethet a kanonikus. Kivonjuk az első oszlop kell szorozni a megfelelő számú bármely későbbi invertálható nulla minden elemét az első sor az első kivételével, az elemek a többi sor nem változott. Ezután, kivonva a második oszlop megszorozva a megfelelő számú bármely későbbi invertálható nullára összes elem a második sorban, kivéve a második, és így a kanonikus mátrixot :.
Tekintsük a négyzetes mátrix
Legyen D = det A.
Egy négyzetes mátrix A jelentése nonsingular, vagy nonsingular. ha determinánsa nullától eltérő és degenerált, vagy különleges. Ha D = 0.
A négyzetes mátrix az úgynevezett inverz négyzetes mátrix a ugyanabban a sorrendben, ha a termék egy # 903; # B = 903; A = E, ahol E - az identitás mátrix azonos nagyságrendű, mint az A és B
Tétel. Ahhoz, hogy az A mátrix volt visszamenőleges, szükséges és elégséges, hogy a determináns lehet nullától eltérő.
Az inverz mátrix, jelöljük A - 1 úgy, hogy a B = A - 1 A inverz mátrixot képlettel számítottuk ki
ahol A ij - kofaktorok elemek egy ij.
Számítása a fordított mátrixba képlet segítségével a magasabbrendű mátrixok nagyon nehéz, így a gyakorlatban célszerű, hogy megtalálja egy inverz mátrixot módszerével elemi transzformációk (VC). Bármely nem-szinguláris mátrix által EPO vezethet csak az identitás mátrix oszlopait (vagy sorait csak) E. Ha elkövetett fenti mátrix A VC ugyanolyan módon, mint az egységre alkalmazott mátrix E, az eredmény az lesz a fordított mátrixba. Célszerű, hogy végre EP mátrixok A és E egyidejűleg felvétel egyaránt a mátrix közelében át a vonalat. Megjegyezzük továbbá, hogy ha megtalálja a kanonikus alakban a mátrix annak érdekében, hogy megtalálják a rangsorban használhatja átalakulások a sorok és oszlopok. Ha szeretné megtalálni az inverz mátrix, csak a sorok vagy csak az oszlopok kell használni az átalakítási folyamat során.
Példa. Egy mátrix A = megtalálják a inverze.
Határozat. Találjuk az első meghatározója a mátrix
D = det A = 27 ¹ 0, akkor a fordított mátrix létezik, és találunk meg a következő képlet segítségével: A - 1 = 1 / D. ahol Ai j (i, j = 1,2,3) - kofaktorokat elemek ai j a kezdeti mátrix. Van:
Példa. Az eljárás elemi transzformációk, hogy megtalálják az inverz mátrix mátrix A =.
Határozat. Tulajdonítható, hogy a jobb az eredeti mátrix azonosító mátrix azonos nagyságrendű :.
Elemi transzformációk bal oszlopban pedig „fél” az egység, egyidejű elvégzése pontosan jobbra fent a transzformációs mátrix.
Ahhoz, hogy ezt elérjük, felcserélni az első és a második oszlop:
Ahhoz, hogy a harmadik oszlop hozzátesszük az első és a második - az első szorozva -2 :.
Az első oszlopban vonjuk kétszer a második, és a harmadik - a második szorozva 6 :.
Add a harmadik oszlop az első és a második :.
Megszorozzuk az utolsó oszlop -1 :. A kapott jogot a függőleges vonal négyzetes mátrix inverze a mátrix A.
Kérdések az önuralmat:
1. Adjon meghatározása mátrix.
2. Mi az úgynevezett diagonális mátrix?
3. Fogalmazza meg a koncepció az identitás mátrix.
4. Milyen műveleteket mátrixok, tudod?
5. Adja meg a koncepció egy négyzetes mátrix.
6. Az úgynevezett mátrix megállapodtak?
7. Határozza meg a meghatározója négyzetes mátrix.
8. Adja meg a számítását a következő képlet meghatározója a második és harmadik megrendeléseket.
9. azonosítja az alapvető tulajdonságait a meghatározó.
10. Sorolja fel a számítási módszereit meghatározó?
11. Határozza meg a rangot egy mátrix.
12. Az úgynevezett mátrix a kanonikus?
13. Fogalmazza fogalma egyenértékű mátrix.
14. Melyek a mátrixot, tudod?
15. Határozza meg a szükséges és elégséges feltétele a létezését a fordított mátrixba.
16. Vedd a képlet a fordított mátrixba.