A egyenletes konvergenciája funkcionális szekvenciákat és a sorok
2. Tekintsük most a szekvenciája Fn (x) = x n. n = 1, 2, az [0,1). újra itt
.. Azaz, a szekvencia X n> konvergál a [0,1) nullára funkciók:
Azonban az X n = 1, és ezért
Következésképpen szerint ugyanazt a lemma poluinervale konvergáló [0,1), a szekvencia X n> nem konvergál rajta egyenletesen (ábra 125) .:
3. Sequence fn (x) = x n. n = 1, 2 és konvergál a [0,1] intervallumban, hanem egy folytonos függvény
Mivel a szekvencia X n> nem konvergál egyenletesen intervallum [0,1), ez nem konvergál, és egyenletesen a [0,1] intervallumban. Ez abból a tényből következik, hogy ha a egyenlőtlenség (31,7) nem teljesül néhány X halmaz (ebben az esetben a [0,1)), ez nyilvánvalóan nem végre bármely csoportja tartalmazó X.
A figyelembe vett szekvencia egy másik példája egy konvergens sorozat folytonos függvények amelynek határa már nem egy folytonos függvény (az első példa erre a fajta volt a szekvencia részleges összegű (31,4)). Az alábbiakban megmutatjuk, hogy ha elvárjuk, hogy a sorozat nem csak konvergálnak, de egyenletesen konvergálnak, ilyen helyzetben lehetetlen lenne (tételek 7 és 7 „).
1. Tétel (Cauchy egyenletes konvergencia kritérium). Annak érdekében, hogy közelednek posledovatelnostfnravnomerno mnozhestveXk néhány funkciót. szükséges és elégséges. hogy minden> 0 léteznek, mint nomern0. hogy vsehxX. vsehn> n0i vsehp = 0, 1 egyenlőtlenség
A szimbolikus jelölés, ez a feltétel a következő:
Mivel a egyenlőtlenség | z |
és mivel a feltétel (31.18) nyilvánvalóan nem teljesül.
Így, a sorozat (31,21) konvergál egységesen Kr körben tetszőlegesen nagy a sugara r. de ez nem egyenletesen konvergálnak az egész gépet C. Ez azt jelenti, hogy ha mi jelöljük S (z) és az SN (Z), illetve, és az összeget a részleges összegek a sorozat (31,21), akkor minden> 0 egy adott kör Kr lehet választani a számot N0. hogy az egyenlőtlenség érvényes minden n> n0 és minden ZKR | S (z) - sn (Z) | <. Номер n0 зависит не только от , но и от r. т. е. n0 = n0 ( ,r ), причем при неограниченном возрастании радиуса r номер n0 также неограниченно возрастает: n0 ( ,r ) = + (если бы это было не так, то ряд (31.21) сходился бы равномерно на всей комплексной плоскости), т. е. невозможно выбрать такой номер n0. чтобы при всех n> n0 az | S (z) - sn (Z) | <выполнялось для всех zC .
5. Számos Z n. ZC. konvergál a nyitott lemez K = z. | Z | <1> és bármikor. 0
Amikor | z | <1 члены ряда z n образуют убывающую геометрическую прогрессию, и поэтому z n = 1/(1 - z ). Если z = r (cos n + i sin n ), то
Egyenlővé valós és képzetes része ennek az egyenletnek, megkapjuk
Rögzített r. 0 Kapcsolódó cikkek