funkcionális sorozat
Definíció. Különös (részleges) mennyiségű funkcionális sorozat hívott függvény
Definíció. Funkcionális sorozat úgynevezett konvergens a ponton (x = x0), ha ezen a ponton konvergens sorozat való részleges összegek. szekvencia limit hívják az összeget a sorozat x0.
Definíció. A mind az x. amelyre a sorozat nevezik a domain a konvergencia a sorozat.
Definíció. Számos egyenletesen konvergens a [a, b], ha egyenletesen konvergál ezen a ponton a szekvencia részleges összegek a sorozat.
Tétel. (Kritérium Cauchy egyenletes konvergenciája) Az egyenletes konvergenciája a szükséges és elégséges, hogy tetszőleges számú e> 0 számra létezik olyan N (e), hogy n> N és bármely egész szám p> 0, a egyenlőtlenség elégedett lenne minden x intervallumban [ a, b].
Tétel. (Weierstrass egyenletes konvergencia tünet)
(Karl Theodor Vilgelm Veyershtrass (1815-1897) - német matematikus)
A sorozat konvergál egyenletesen, sőt, teljességgel az [a, b], ha a modulok tagjai ugyanazon intervallum nem haladhatja meg a megfelelő feltételek konvergens numerikus sorozat pozitív értelemben.
azaz Az egyenlőtlenség :.
Azt is mondják, hogy ebben az esetben egy funkcionális sorozatot uralja számszerűen közel.
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat.
Tehát, mint mindig, akkor nyilvánvaló, hogy.
Ismeretes, hogy számos obschegarmonichesky ha a = 3> 1 konvergál, majd egy jellemzőjével összhangban elemzett Weierstrass sorozat konvergál egységesen és ráadásul bármely intervallumban.
Példa. Fedezze fel a konvergencia a sorozat.
A intervallum [-1,1] egyenlőtlenség azaz alapján a vizsgált Weierstrass sorozat konvergál ebben a szegmensben, és a szünetekben (-μ, -1) È (1, μ) eltér.
Tulajdonságai egyenletesen konvergens sorozat.
1) A tétel az összeg a sorozat folytonosságot.
Ha a feltételeket a sorozat - folytonos az [a, b] és számos funkció egyenletesen konvergens, és annak összege S (x) egy folytonos függvény az [a, b].
2) tétel az integráció a sorozat távon távú.
Az egyenletesen konvergens a [a, b] folyamatos sorozatának tagjai integrálni lehet termwise ebben a szegmensben, azaz sorozat, amely a integrálok tagjai felett [a, b]. konvergál az integrál összeg a sorozat ebben a szegmensben.
3) tétel a távon távú differenciálódás a sorozat.
Ha a szám a konvergens tagok a [a, b] folytonos függvény, amelynek folyamatos származékok, és a sorozat álló ezen származékok ebben a szegmensben konvergál egyenletesen, és a sorozat konvergál egyenletesen és azt meg lehessen különböztetni távon távú.
Azon a tényen alapul, hogy az összeg egy szám függvénye az x változó. Lehet előállítani egy ábrázolása a működés - akár formájában számos funkciót (bővítés a funkció a sorban), amelyet széles körben használnak az integráció, differenciálás, és egyéb tevékenységeket funkciókat.