Kristályos csoport

Bieberbach tétele

Két kristályos csoportot ekvivalensnek tekintünk, ha konjugáltuk az euklideszi tér affin transzformációinak csoportjában.

1. bármilyen $n$-dimenziós kristályos csoportot $\backslash \; Gamma$ ez tartalmazza $n$ lineárisan független párhuzamos fordítások; csoport $G$ az átalakítások lineáris részei (vagyis a kép $\backslash \; Gamma$ a $GL\_n$) véges.
2. Két krisztallográfiai csoport egyenértékű, ha és csak akkor, ha elvont csoportokként izomorf.
3. Mindenki számára $n$ csak véges szám van $n$-dimenziós krisztallográfiai csoportok, amelyek egyenértékűségnek tekinthetők (Hilbert 18. feladatának megoldása).

A tétel lehetővé teszi számunkra, hogy absztrakt csoportokként adjuk meg a kristályos csoportok szerkezetét: Let $L$ A krisztallográfiai csoporthoz tartozó valamennyi párhuzamos fordítás $\backslash \; Gamma$. majd $L$ A véges index normális alcsoportja izomorf $\backslash \; Z\; ^\; n$ és egybeesik a központosítójával $\backslash \; Gamma$. Egy ilyen normál alcsoport jelenléte absztrakt csoportban $\backslash \; Gamma$ szintén megfelelő feltétel a csoport számára $\backslash \; Gamma$ izomorf volt a kristályos csoporthoz.

A csoport $G$ a kristályos csoport lineáris részei $\backslash \; Gamma$ megőrzi a rácsot $L$; más szavakkal, a rácsos alapon $L$ átalakítások $G$ egész számokból íródnak.

Csoportok száma

A kristályos csoportok száma $n$-dimenziós tér, orientációval vagy anélkül, az A004029 és az A006227 szekvenciák adják. Az egyenértékűségig ott van

• 17 sík kristályos csoport [1]
• 219 térbeli kristályos csoport;
  • ha a téri csoportokat a konjugációig, az affin transzformációk segítségével megőrzik a tájékozódást. akkor lesz 230 közülük.
• A 4. dimenzióban 4894 kristályos csoport létezik, orientáció-megőrzéssel, vagy 4783-as tájolás megőrzése nélkül [2] [3].

Lehetséges szimmetriák

Spot elemek

A véges alakok szimmetrias elemei, amelyek legalább egy pontot hagynak el.

A pontszimmetriaelemek összes lehetséges kombinációja két szimmetrikus szimmetrikus csoportot eredményez kétdimenziós térben és 32 pontos csoportban a 3 dimenziós térben.

A négydimenziós térben újfajta szimmetriaelemek léteznek - kettős forgatás két teljesen merőleges síkban. Ennek következtében nő a transzlációs szimmetriával kompatibilis szimmetriaelemek száma. A terek dimenziója 4. és 5. lehetséges a kristály szimmetriája pontok a megrendelések 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 és 12. Továbbá, mivel a forgatási az egyes abszolút merőleges síktól nem lehet megállapítani, különböző irányokba, ott enantiomorphous pár pont szimmetria elemeket (például kettős elfordulását a negyedrendű, melyek kombinálva fordul 90 ° az első síkban és 90 ° egy második síkban enantiomeresen kettős forgási negyedrendű, ahol a menetek egyesítjük 90 ° egy első síkban, és -90 ° második) . Minden lehetséges kombinációját pont szimmetria elemeket a négy-dimenziós térben 227 vezet 4-dimenziós pont csoportot, amelyek közül 44 enantiomorphous (azaz, összesen 271 fordul pont szimmetria-csoport).

6-dimenziós és 7-dimenziós térben az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 és 30 sorrendű pontszimmetriaelemek a kristály . [5] Lásd még: Kristálytani restrikciós tétel

közvetítések

A kristályos csoportokban mindig vannak fordítások - párhuzamos transzferek. azzal a váltással, amelybe a kristályszerkezet illeszkedik. A kristály transzlációs szimmetriáját a Bravais-rács jellemzi. A 3 dimenziós esetben csak 14 Bravais típusú lehetséges. A 4., 5. és 6. méretekben a Bravais rács típusok száma 64, 189 és 841, [6]. A csoportelmélet szempontjából a fordítócsoport a tér csoport normális Abel-alcsoportja, és a tércsoport a fordítások alcsoportjának kiterjesztése. A tércsoport faktorcsoportja a fordítási alcsoportban az egyik pontcsoport.

Komplex szimmetria műveletek

A tengelyek körüli forgatások, ezzel párhuzamosan a tengely irányába (spirális tengely) és a síkhoz viszonyított elmozdulással egy vektorba, ezzel párhuzamosan a síkkal párhuzamos vektorra (a csúszó visszaverődés síkja). A nemzetközi szimbolizmusban a spirális tengelyeket a megfelelő forgótengely számjegye jelöli, amely a tengely mentén történő átvitel nagyságát jellemzi, egyidejű forgatással. Lehetséges spirális tengelyek a 3-dimenziós esetben: 21 (180 ° -os forgatás és 1/2 fordítással történő fordítás), 31 (120 ° -os elforgatás és a fordítás 1/3-ától való eltolás), 32 (120 ° -os forgatás és 2 / 3 fordítás), 41 (90 ° forgatás és 1/4 fordítási eltolás), 42 (90 ° forgatás és 1/2 fordítási eltolás), 43 (90 ° forgatás és 3/4 fordítási eltolás), 61 62. 63. 64. 65 (forduljon 60 ° -kal, és a fordítás 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 és 5/6 fordulattal). A 32, 43, 64 és 65 tengelyek enantiomorfok a 31., 41., 62. és 61. tengelyekhez képest. Ezeknek a tengelyeknek köszönhetően 11 térbeli csoport enantiomorf párosa van - mindegyik párban egy csoport a másik tükörképe.

A csúszó-visszaverő síkokat a kristályos cellák tengelyeihez viszonyítva a csúszási irány függvényeként jelölik. Ha a csúszka az egyik tengely mentén történik, akkor a síkot a megfelelő a latin betű jelöli. b vagy c. Ebben az esetben a csúszás mindig egyenlő a fordítás felével. Ha csúszás van irányítva az átló mentén az arc vagy a test átlója a sejt, a sík jelöli n az esetben azonos sima fél átlós vagy d esetében csúszó egy negyede a diagonális (ez csak úgy lehetséges, ha az átlós középre). Az n és a d síkokat klinoplanoknak is nevezik. A d síkokat néha gyémánt síkoknak nevezik, mert gyémánt szerkezetében vannak jelen (angol gyémánt - gyémánt).

elnevezések

A krisztallográfiai (térbeli) csoportokat, amelyek mindegyike benne rejlő valamennyi szimmetrias elem, a Nemzetközi Kristálytiszta Táblák című nemzetközi könyveiben foglaltak össze. A kézikönyvben szereplő számozás használata elfogadott. A csoportok számozása 1 és 230 között növekvő szimmetria szerint történik.

Herman-Mogen szimbolizmus

Tér-csoport szimbólum tartalmaz egy szimbólum a Bravais rács (nagybetűs P, A, B, C, I, R vagy F), és a nemzetközi szimbólum-csoportot. A Bravais-rács szimbóluma azt jelzi, hogy további transzlációs csomópontok vannak az egységcellában: P (primitív) egy primitív sejt; A, B, C (A-központú, B-központú, C-központú) - egy további csomópont a közepén egy arc A, B vagy C, sorrendben; I (I-központú) - test- (kiegészítő csomópont a cellában központban), R (R-központú) - kétszer test- (két további csomópontok a fő diagonális az elemi cella), F (F-központú) - lapcentrált (több csomópont a központok minden arcok).

A pontcsoport nemzetközi szimbólumát általában három szimbólum képezi, amelyek a kristálycellában lévő három fő iránynak megfelelő szimmetrias elemeket jelölik. Szimmetria elem irányának megfelelő, utal, hogy vagy szimmetriatengelye húzódó ebben az irányban, vagy arra merőleges síkban szimmetrikus vagy mindkettő, és egy másik (jelen esetben, ezek segítségével regisztráljuk egy töredéke, így például, a 2 / c - egy szimmetria tengelye érdekében 2 és merőleges a tükröződés tükrözésének síkjára a c) irányú elmozdulással. A megértés fő vonalai között:

• a sejtalapú vektorok irányai triklinikus, monoklinikus és rhombikus syngony esetén;
• a 4. sorrendű tengely irányát, az egyik alegység vektorának irányát az egységcellában és a cellaalap diagonális irányát a tetragonális rendszer esetében;
• tengelye irányában a 3. rendű vagy 6-sorrendben, az irányt egyik alapja vektorok alapján az elemi cellát és a vektor irányát az elemi cella az átlós szögben 60 ° az előző esetén hexagonális rendszerű (a leírásban is szerepelnek a trigonális kristály rendszer, amely ebben az esetben az, az egységcellák hatszögletű tájolásához);
• az alapvektorok egyikének irányát, az egységcella térdiagnosztikai irányát és az alapvektorok közötti szögfelezővonal mentén lévő irányt.

A Herman-Mogen szimbólumokat általában rövidítjük, eltávolítva a hiányzó szimmetriaelemek szimbólumait külön irányban, amikor ez nem hoz létre kétértelműséget, például írja a P4 helyett P411-et. Kétértelműség hiányában a szimmetria síkjára merőleges másodrendű tengelyek jelöléseit például a C $\backslash \; tfrac\; \backslash \; tfrac\; \backslash \; tfrac$ a $Cmmm$.

A Schönflies szimbólum

A Schönflies szimbólum határozza meg a szimmetriaosztályt (a fő karaktert és az indexet) és a feltételes csoportszámot ezen a kategórián belül (superscript).

• Cn - ciklikus csoportok - a szimmetria forgástengelye által képviselt egyetlen speciális irányú csoportokat - a C betű az alsó n numerikus indexrel jelöli. amely megfelel ennek a tengelynek a sorrendjében.

• Az egy szimmetria inverziós tengellyel rendelkező cni-csoportokat egy i.
• A Cnv (függőlegestől a függőlegesig) egy szimmetriasík is van, amely szimmetria egy vagy fő tengelyén helyezkedik el, amelyet mindig függőlegesnek tekint.
• Cnh (vízszintesen - vízszintesen) - szintén szimmetriasík van, merőleges a szimmetria fő tengelyére.

• S2. S4. S6 (vele spiegel - tükör) - csoportok egy tükörszimmetria tengellyel.

• Cs - határozatlan tájolású síkra, vagyis nincs rögzítve a csoport más szimmetrias elemeinek hiányában.

• Dn - egy Cn csoport, amelynek második n-szimmetria tengelyei a kezdeti tengelyre merőlegesek.

• Dnh - vízszintes szimmetriasíkja is van.
• A Dnd (átlós diagonálistól) függőleges átlós szimmetria síkjai is vannak, amelyek a második rend szimmetriatengelyei között futnak.

• O, T - szimmetria-csoportok több, magasabb rendű tengellyel - köbrendszer csoportok. O betűvel jelölve, ha az oktaéder teljes szimmetriatengelyét vagy a T betűt tartalmazzák, ha a tetraéder teljes szimmetriatengelyeit tartalmazzák.

• Az Oh és a Th egy vízszintes szimmetriasíkot is tartalmaz
• Td - tartalmaz egy átlós szimmetriasíkot is

n értéke 1, 2, 3, 4, 6 lehet.

A krisztallográfiai csoportok elméletének eredete összefügg a díszek szimmetriájának tanulmányozásával ($n\; =\; 2$) és kristályszerkezetek ($n\; =\; 3$). Osztályozása az összes sík (kétdimenziós) és térbeli (háromdimenziós) kristálycsoport függetlenül Fedorov érkezett (1885), Schoenflies (1891) és a Barlow (1894). A többdimenziós krisztallográfiai csoportok főbb eredményeit Bieberbach kapta [8].

jegyzetek

irodalom

Kapcsolódó cikkek

• A kristálytani csoport, a tudomány, a wikia által működtetett fandom

• 1. kristályos csoport

• Kristálytani csoportfordítás oroszról angolra, fordítás orosz angol nyelvre