Autoregresszív modellek - stadopedia
A stacionaritási feltétel kielégítése érdekében a Φ ()) polinom összes gyökérének az egységkörön kívül kell elhelyezkednie; a megfelelő karakterisztikus egyenlet minden gyökének nagyobbnak kell lennie, mint 1 modulo és különböző.
Ez a modell a következőképpen ábrázolható:
ahol a numerikus együttható, | a | <1, et — последовательность случайных величин, образующих “белый шум”.
A Markov folyamat fő tulajdonságai:
Nyilvánvaló, hogy az yt a korábbiaktól függ, de a későbbi véletlenszerű változókon nem. Ezért figyelembe véve a "fehér zaj" jellegét. azonnal következik, hogy M (yt) = 0.
Az (1) Markov folyamat AR varianciájának kifejezését is kapjuk a (3.3) kifejezés alkalmazásával:
A végtelen geometriai progresszió összege az a | <1. Отсюда видно, что при значении a близком к ± 1 дисперсия ряда будет намного больше — дисперсии белого шума. Следовательно, если последовательные значения ряда сильно коррелированны, то даже незначительные возмущения будут порождать размашистые колебания.
A 3. és 4. tulajdonságok megjelenítéséhez szinkronizálja az egyenlet (3.2) mindkét oldalát yt-1-gyel, és vegye figyelembe a matematikai elvárásokat:
ahol a második M (et yt-1) kifejezést írjuk, figyelembe véve a sorozat korrelálatlan értékeit bármely jövőbeli véletlen változóval, et. A végső jelölés ehhez az összefüggéshez
azaz a az első rend autokorrelációjának együtthatója (meghatározza a pároskorrelációs tényező értékét a szomszédos szintek között):
Ezt bizonyítani lehet
Ezért a szekvencia feltételei közötti korrelációs kapcsolat szorossága exponenciálisan csökken, mivel időben kölcsönösen eltávolítják egymást.
A Markov-folyamat összes autokorrelációját az elsőrendű autokorreláció határozza meg:
A részleges autokorrelációs függvény értéke nulla minden k> 2-es késleltetésre, melyet a modell kiválasztásához használhatunk. Ez az eredmény egy elméleti részleges autokorrelációs függvényre igaz, és nem elégíthető ki egy szelektív autokorrelációs függvényhez. Ha azonban a szelektív részleges korrelációk statisztikailag szignifikánsan különböznek a nullától k> 2-nél, akkor az AR (1) modell használata nem mond ellent a kezdeti adatoknak.
Az a |> 1 paraméterrel végzett folyamat nem statikus. Ilyen sorozat valószínűleg a valós pénzügyi és gazdasági problémákat, mivel ez azt jelenti, robbanó sorok, és a nyomás a gazdasági környezet nem teszi lehetővé paramétereket, hogy egy végtelen értéket.
Adjon meg egy kifejezést az r (t) autokorrelációs függvény értékeinek kiszámítására. rövidítve az ACF-hez, a t sorozat eltolásának bármely értékére. Ehhez újra megismételjük az egyenlet (3.5) mindkét oldalát yt-t:
és vegye figyelembe a matematikai elvárásokat:
Ez a kifejezés lehetővé teszi számunkra az ACF érték kiszámítását a késleltetés különböző értékeire. A t = 1 és t = 2 értékeket egymás után helyezzük el (3.8).
Figyelembe véve azt a tényt, hogy r (0) = 1, és r (-1) = r (1)
Ezt a rendszert AR (2) Yule-Walker rendszernek hívják.
Ha ezt a rendszert az a1 és a2 vonatkozásában oldjuk meg, akkor a következő kifejezéseket kapjuk:
A rendszerből (3.9) az ACF első két értékét fejezzük ki:
Az r (1) és az r (2) meghatározásával minden későbbi ACF érték kiszámítható (3.8) segítségével.
Megszerzünk egy kapcsolatot, amely összeköti a serie yt varianciáját és a fehér noise et varianciáját, ami egyenlő. Ehhez meg kell szorozni az AR egyenletet (2) yt:
Vegyük a matematikai elvárásokat:
Tól autokovariacia együtthatók át az auto-korrelációs együtthatók, megszorozzuk, és elosztjuk a jobb oldalon az egyenlet által g (0):
Ezért, figyelembe véve, hogy a varianciának pozitívnak kell lennie, akkor az AR (2) folyamat állékonyságának feltételeit kapjuk. Az y sorozat stabilitási körülményei a követelményektől (6.14) való megfeleléssel is elérhetők
Megjegyezzük, hogy az azonos körülmények között nyert az a követelmény, hogy az összes gyökerei a karakterisztikus egyenlet 1 - a1 z - a2 Z 2 = 0 kívül esnek az egység kör.
Az AR (2) folyamat stabilitási feltételei a formában írhatók
1. Az AR (p) modellekben az ACF együtthatók értékei exponenciálisan csillapodnak (vagy monoton vagy váltakozva változtatják a jelet).