Sajátértékek és sajátvektorok adjoint operátor - problémák megoldása, kontroll

Sajátértékek és sajátvektorok Konjugált üzemeltető

Nem nulla eleme x GV nevezzük megfelelő elem lineáris operátor A: VV, ha létezik egy számot L - sajátértékei lineáris üzemeltető, hogy az 1. példában minden polinom foka nulla egy megfelelő eleme differenciálás szereplők megfelelő sajátérték nulla: a 2. példában szereplő differenciálás Saját értékek és saját elemek. A szomszédos üzemeltető. a saját elemek nem. Hagyja néhány trigonometrikus polinom cos t + 0 sin t differenciálódást követően válik arányos: Ez azt jelenti, vagy ami ugyanaz, az utolsó egyenlőség akkor és csak akkor, ahonnan az következik, hogy a = p = 0, akkor a polinom csak nulla lehet. 6. tétel. Az A valós szám egy A lineáris operátor sajátértékének értéke, ha és csak akkor, ha ez a szám a saját polinomának gyökere: x (A) = 0. Öröklés. Legyen A legyen az A operátor sajátossága. Ezután van egy nem nulla elem x, amelyhez Ax = Ax. Legyen a tér alapja. Aztán az utolsó egyenlet átírható a egyenértékű mátrix formában, vagy ami ugyanaz, és ez az, ami - a saját elem, ebből következik, hogy az oszlop koordináta x (c) nem nulla. Ez azt jelenti, hogy a lineáris rendszer (1) nemzero megoldást tartalmaz. Ez utóbbi csak azzal a feltétellel lehetséges, hogy - vagy ami ugyanaz - elégséges. A saját elem megalkotásának módja. Legyen A egy polinom egyik gyöke, vegye figyelembe egy homogén lineáris rendszert az A (c) -AI mátrixral: A (2) állapot miatt ez a rendszer egy nemzero megoldást tartalmaz. Construct egy elem x a szabály által X koordináta oszlop (ok) az elem megfelel annak a feltételnek, vagy hogy is, az utolsó egyenértékű, vagy annál több, tehát, x - saját elementlineynogo az A, és A - a megfelelő sajátérték. Megjegyzés. Annak érdekében, hogy megtaláljuk az adott A sajátértékhez tartozó összes sajátértéket, létre kell hozni a rendszer (3) FSS-jét. 1. példa. Keresse meg a szabálynak megfelelően működő lineáris működtető sajátvektorokat (vetítő operátor) (6. Tekintsük egy lineáris F operátor hatását alapvektorokra. Most az operátor mátrixát írjuk: sajátértékek és sajátértékek. A szomszédos üzemeltető. egy jellegzetes polinomot alakítunk ki és megtaláljuk gyökereit. Homogén lineáris rendszereket építünk ki mátrixokkal: Megszerzük: Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszereit mindegyik rendszerhez. 1 van így sajátvektorai ezen szolgáltató design: egy vektor sajátérték 0 és mindegyik sajátérték példa 2. Ide eigenelements lineáris differenciáloperátor V, AFJ eljárva a tér polinomokként nem nagyobb, mint két: A D mátrix megadott szereplő az I, t, 0 alapja az A3-as karakterisztikus polinomnak pontosan egy gyökere A = 0. A rendszer megoldása a 1,0,0-es halmaz, amelyhez nulla-polinom tartozik. 5. §. Konjugált operátor Euklideszi térben a lineáris operátorok fölött új működtetést, a konjugációs műveletet vezethet be. Legyen V egy n-dimenziós euklideszi tér. Ezzel a térrel minden egyes lineáris működtetővel; egy másik lineáris operátor egy adott konjugátumhoz kapcsolódik. Definíció. A lineáris operátor (értsd: „és a Star”) az úgynevezett konjugált lineáris operátor A: V - * V, ha bármely eleme az x és y a térben, az V. egyenlőség lineáris operátor A * adjoint az adott üzemeltető, mindig létezik. Legyen c = (et en.) - ortonormális alapján V és A = A (c) = (a ^) - .. A mátrix egy lineáris A üzemeltető a Ennek alapján, azaz, a közvetlen számítások látható az a tény, hogy a lineáris üzemben " : V -> V, melyet a szabály határoz meg, az egyenlőséget (1) minden y és y esetében kielégítik. Emlékezzünk vissza arra, hogy az 1. tétel szerint lineáris operátor létrehozásához elegendő az alapelemekre vonatkozó cselekvés meghatározása. Egy példa. Az M1 polinomok lineáris térben valós értékű valós tényezővel rendelkeznek, amely nem magasabb, mint a skalárszorozás első művelete a következő szabály szerint. Legyen M \, ezért M \ egy kétdimenziós euklideszi tér. Legyen V. M \ - M \ a differenciálási operátor: V (a + d, f) = b. Megépítjük az adjoint operátort. Ennek az alapnak a V mátrixa van. Ezután - a mátrix a adjoint üzemeltető V., meghatalmazotti szabály szerint: Egy polinom kap Tulajdonságok konjugáció 1. Ukazhdogolineynogooperatorasuschestvuetrovnoodinsopryazhennyyemuoperator. Legyen B és C - az üzemeltetők csatlakozómodulok adott uoperatoru A. Ez azt jelenti, hogy minden elemek x és y a tér V egyenlőségek Ebből következik, hogy a sajátértékek és a saját elemek. A szomszédos üzemeltető. továbbá mivel a választás x, arra a következtetésre jutunk, hogy az elem Wu Su-ortogonális minden eleme a tér V, és különösen, hogy önmagát. Ez utóbbi csak abban az esetben lehetséges, ha By - Cy = 0, és így By = C y. Mivel y egy tetszőleges elem, megkapjuk a B-t

C 2. (a.4) * = aA *, ahol a egy tetszőleges valós szám. Legyen A: V -> V és B: V -> V legyen lineáris operátor. Ezután a 2-5. Tulajdonságok könnyen követhetők az adjoint operátor egyediségétől. 6. Legyen c egy ortobázis az V. térben. Annak érdekében, hogy az A: V V és B: V -> V üzemeltetők kölcsönösen konjugáljanak, B = A ', A = B * egyenlõséggel van szükség, és elegendõ, hogy az A / A (c) és a B = B (c) mátrixokat egymásról átültetéssel szerezzük be. Megjegyzés. Hangsúlyozzuk, hogy a 6 tulajdonság csak orthonormálisan épített mátrixokra érvényes. Véletlen alapon hamis. 7. Ha az A lineáris operátor nem degenerált, akkor az A * adjoint operátor szintén nem degenerált, és