Euler egyenlet magasabb rendű
Már figyelembe vettük a másodikrendű Euler-egyenleteket. Bizonyos permutációk segítségével egy ilyen egyenlet lineáris homogén differenciálegyenletet és állandó koefficienseket eredményez. Ezeket az átalakításokat n-edik rend egyenlet esetében is alkalmazzuk. Nézzünk részletesebben két módszert az adott típusú egyenletek megoldására.
1. A \ (n \) sorrend Euler-egyenletének megoldása a \ (x = 1) szubsztitúció segítségével
2. A \ (n \) függvény Euler-egyenletének megoldása egy \ (y = 1) teljesítményfüggvény formájában
Tekintsünk egy másik módot az Euler-egyenlet megoldására. Tegyük fel, hogy az oldat formájában a teljesítmény függvényt \ (y =, \), ahol a kitevő \ (k \) határozzuk meg a döntést. Származékok a függvény \ (y \) könnyen kifejezhető a következő formában: \ [y '= k>, \] \ [y' '= k \ bal (\ jobbra)>, \] \ [y' '' = k \ bal (\ right) \ left (\ jobbra)>, \] \ [\ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \] \ [>> = \ right) \ cdots \ left (\ . jobbra)> \ right] >> \] Behelyettesítve ezt a kezdeti homogén Euler egyenletet és bontva \ (y = \ ne 0 \) azonnal megkapjuk a karakterisztikus egyenlet: \ [\ right) \ cdots \ left (\ jobbra) > \ right]> + \ left [\ right) \ cdots \ left (\ jobbra)> \ right] + \ cdots> +> K + = 0,> \] van egy tömörebb formában felírható \ [^ \ A bal [\ right) \ cdots \ left (\ jobbra)> \ right]> + = 0,> \; \; \; \; = 1> \] megoldása a karakterisztikus egyenlet, azt látjuk, a gyökereket és továbbra is épít egy általános megoldást a differenciálegyenlet. A végső expressziós vissza kell térnie az eredeti változó \ (x, \) a helyettesítési \ (t = \ ln x. \)
3. Inhomogén Euler egyenlet magasabb rendű
Általában, az inhomogén Euler egyenlet képviseletében a \ [> \ left (x \ right) +> \ right) >> \ left (x \ right) + \ cdots> +> xy „\ left (x \ jobb) + y \ left (x \ jobb) = f \ bal (x \ jobb),> \; \; 0.> \] vegyületekből szubsztitúciós \ (y = \) inhomogén Euler egyenletet átalakíthatjuk inhomogén lineáris egyenlet állandó együtthatós. Így, ha a jobb oldalon a kezdeti egyenlet a forma \ [f \ left (x \ right) = \ left (\ jobbra), \] ahol \ (\) - a polinom foka \ (m, \), akkor az adott kapott oldatot inhomogén egyenlet a meghatározatlan koefficiensek módszerével.