Terepi bővítmények
Ha k a k szubmezője, akkor azt is mondjuk, hogy K egy k kiterjesztése. Vegye figyelembe, hogy a mező karakterisztikájának meghosszabbítása megmarad. Tény, hogy a mező 0 tartalmaz k jellemzőit almező izomorf Q - területén racionális számok és jellemzők a mező k p> 0 - almező izomorf mező GF (p) - maradékot modulo p. A kiterjesztés meghatározásával a nagyobb K mező ugyanazokat az almezőket tartalmazza, és ezért ugyanaz a jellemző.
Emlékezzünk, hogy vektortér feletti több k nevezik X (vektorok), amelyek esetében a műveletek az összeadás és szorzás a vektorok a vektor mező az elem (skalár) az alábbi tulajdonságokkal:
1. A hozzáadást illetően a vektorok Abel-csoportot alkotnak.
Nyilvánvaló, hogy a mező a K lehet tekinteni, mint egy vektortér feletti K: vektor kívül értelmezi az olyan elemek, a mező K, és a szorzás skalár szorzata mind az azonos területen (minden skalár k egyidejűleg egy eleme K). Tulajdonságok 1-5 követik a mező definícióját. Így minden, a vektorterekhez kapcsolódó ismert eredményünk alkalmazható a terepi terjeszkedés esetén. Különösen a K dimenziójáról beszélhetünk. Ezt a számot a bővítés mértékének nevezzük, és ezt a [K: k] jelöli. Ha a kiterjesztés mértéke véges, akkor maga a kiterjesztés végesnek mondható.
1. A komplex számok C mezője a valós számok R mezőjének kiterjesztése. Mivel minden egyes komplex szám egyedi módon van írva + b-nek, az 1-es és i-es számok C alapú R alapot alkotnak, ezért [C: R] = 2.
2. Tekintsük az R mezőt, mint a racionális számok kiterjesztését Q. Megmutatjuk, hogy a kiterjesztés mértéke végtelen. Ehhez elegendő, ha mindegyik n egy olyan valós számrendszer rendszert ad meg, amely lineárisan független a Q-nál. Nézzük ,. . Tegyük fel, hogy bizonyos okoknál fogva az egyenlőség: = 0. A q = radikális együtthatókkal rendelkező polinom ugyanis gyökér x =, ugyanakkor ugyanaz a gyökér rendelkezik egy irreducibil polinommal, amely ezért osztja a q polinomot. Ez csak abban az esetben lehetséges, ha a q polinom nulla, ami bizonyítja az állításunkat.
Tétel a kompozit kiterjesztések fokáról.
Tegyük fel, hogy az F mező a k mező kiterjesztése, és K az F. kiterjesztése. A kiterjesztés mértékét [K: k] a következő képlet adja meg: [K: k] = [K: F] [F: k].
Legyen alapja a K-nek az F-re, és az alapja az F fölött. Minden UK esetében van: U =, hol. De, hol. Ezért a K mező minden elemét k elemek lineáris kombinációjával írjuk fel az nm darabszámra vonatkoztatva. Továbbra is igazolni kell a lineáris függetlenségüket. Ha a
= 0, akkor, mivel lineárisan függetlenek az F-nél, minden esetben
i = 1. n = 0. De lineárisan függetlenek a k fölött, és ezért mindent.
Bővítés elemek hozzáadásával.
Tegyük föl, hogy adott területen a K és elemek tartozó néhány területen K. legkisebb (a felvétel) almező K, amely területen k és k jelöli az összes elemet (), és k az úgynevezett kiterjesztése csatolásával elemek. Ha n = 1, akkor a kiterjesztés egyszerűnek mondható. és a megfelelő U elem az egyszerű kiterjesztés generáló eleme.
1. Ha minden van, akkor k () = k.
2. Ha k = R. U = a + bi C, ahol b 0, akkor az egyszerű R (U) kiterjesztés egybeesik a C-val. Valójában az R (U) U-t és minden valós számot tartalmaz. De akkor
i = 1 / b (U-a) R (U), és így bármely komplex szám p + qi R (U).
3. A Q () mező tartalmazza az összes valódi szám X-et, amely a + b formában írható, ahol a, b Q.
Ellenőrizzük, hogy X mező, és ezáltal Q () = X. Emlékezzünk arra, hogy egy k T részhalmaza mező, ha és csak akkor, ha
a) T 0 és 1-et tartalmaz.
b) Két t és s t elem együtt tartalmazza a t-s különbségét.
c) Minden két elem t és s 0, T tartalmazza a hányadosukat t / s.
Az a) és b) feltételek az X esetében nyilvánvalóan teljesülnek. A c) ellenőrzése érdekében "a frakció (a + b) / (c + d) nevezőjének" el kell pusztítani az irracionalitást ". Az elemi algebrától ismeretes, hogy ehhez elegendő a számláló és nevező szorzása c-d-vel. Így [Q (): Q] = 2, és az elemek 1 és 1 képezik az alapot.