A kombinatorika alapkészségei és azok alkalmazása - stadopedia
A Combinatorics a matematika egyik szakasza, amely olyan kombinációk számát vizsgálja, amelyek bizonyos feltételek mellett alárendeltek, és amelyek egy adott véges elem elemeiből állhatnak.
A legegyszerűbb kombinatorikus probléma az adott készlet halmazainak számának kiszámítása.
A kombinációkat különböző csoportoknak nevezik, amelyek minden objektumból, elemből állnak.
Háromféle kombináció létezik: permutációk, elhelyezés és kombinációk.
Az elemek átáramlása minden elemet tartalmazó kombinációnak nevezhető, és csak az elemek sorrendjében eltérő.
Az elemek permutációinak számát a következő képlet adja meg: (2)
- olvassa el a "faktorikus" szót.
Feltételezzük, hogy 0 = 1.
Példa: Keresse meg az elemek permutációinak számát
P3 = 3! = 1 × 2 × 3 = 6
. . . . .
Az elemek elhelyezését olyan kombinációknak nevezik, amelyek mindegyike magában foglalja az elemekből vett elemeket, és amelyek egymástól vagy maguk az elemek, vagy elrendezésük sorrendje különböznek egymástól.
Az elemek elhelyezésének számát a következő képlet adja meg:
Az elemek kombinációit kombinációknak nevezzük, amelyek mindegyike tartalmaz elemeket ezekből az elemekből, és amelyek legalább egy elemtől különböznek egymástól.
Az elemek kombinációinak számát a következő képlet adja meg:
4. A valószínűség statisztikai meghatározása.
A gyakorlatban a valószínűség klasszikus definíciója gyakran nem alkalmazható, mivel feltételezi, hogy az elemi teszt kimenetek száma véges, és a vizsgálati eredmény az elemi, egyenlő valószínűségű eredmények csoportjaként jelenhet meg. Ezért a valószínűség statisztikai meghatározását alkalmazzuk. Az esemény relatív gyakorisága az olyan próbák számának aránya, amelyben az esemény bekövetkezett a ténylegesen végrehajtott tesztek teljes számával. ahol
- a vizsgálatok teljes száma,
- az esemény előfordulásainak száma A.
A feladat. Az 1000 tételből álló árucikkben az árutermelő talált 15 hibás árut. Mi a házasság megjelenésének relatív gyakorisága?
A megoldás. Jelölje meg - ha a házasság megjelenése egy adott tételben történik. A tételben gyártott termékek száma összesen 1000, a hibás tételek száma pedig 15.
Definíció szerint:
A valószínűség és a relatív gyakoriság definícióinak összehasonlításakor megjegyezzük, hogy a valószínűség meghatározásakor nem szükséges, hogy a teszteket a valóságban végezzük. A relatív gyakoriság meghatározásakor feltételezzük, hogy a vizsgálatokat elvégeztük, azaz a valószínűség kiszámítása a kísérlet előtt történik, és a relatív frekvencia kiszámítása a kísérlet után történik.
Hosszú távú megfigyelések azt mutatták, hogy az együttélés előfordulásának relatív gyakorisága sok ismétlődő kísérletben kevéssé különbözik egymástól, de a frekvenciák sorrendjét. . . van egy határa. Ezt a határértéket egy esemény statisztikai valószínűségének nevezik.
Annak érdekében, hogy megerősítsük a valószínűség relatív frekvenciájának közelítését, hatalmas kísérleteket hajtottunk végre egy érme dobására. A 4040-es dobásnál a jelkép viszonylagos gyakorisága 0,5069, és 23000-ben - 0,5005, azaz nem különbözik a valószínűségtől. ez az esemény 0.5.
5. Az inkompatibilis és közös események valószínűségének kiegészítésének tétele.
Tétel. A két összeférhetetlen esemény egyikének előfordulási valószínűsége, függetlenül attól, hogy mekkora, egyenlő az események valószínűségének összegével. (1)
Következmény. A következetlen események valószínűségeinek összege. egy teljes csoportot alkot, egyenlő egy :.
Definíció. Az esemény eseményfüggő. Ha egy esemény előfordulása megváltoztatja egy esemény valószínűségét.
Az esemény valószínűsége. feltéve, hogy az esemény bekövetkezett, az esemény feltételes valószínűségének nevezzük és jelöljük.
Tétel. A két közös esemény összegének valószínűsége megegyezik ezeknek az eseményeknek a valószínűségeinek összegével anélkül, hogy közös megjelenésük valószínűsége lenne:
Három közös eseményre:
Eseményeket. és lehet függő vagy független, majd (független események esetén) és (függő események esetén).
6. Az eltartottakra vonatkozó szorzó valószínűségeinek tétele