Vasilisa yavix - szellemi keresőmotor 2
A projektív geometriában egy síkbeli konfiguráció egy véges pontkészletből és egy véges vonal-konfigurációból áll. úgy, hogy minden egyes pont azonos számú vonalra esik, és minden vonal azonos számú pontra esik.
Bár néhány konkrét konfigurációkat korábban tanulmányozták (pl Thomas Kirkmanom honlapján [> https: ╱╱en.wikipedia.org╱wiki╱Thomas_Kirkman [en] 1849-ben), a hivatalos vizsgálat konfigurációk először kezdett Theodor Reye honlapján [> https: ╱╱en .wikipedia.org╱wiki╱Theodor_Reye [en] 1876-ban a második kiadása könyvében Geometrie der Lage (geometria helyzet), összefüggésben a vita a tétel a Desargues. Ernst Steinitz írt disszertációt a témában 1894-ben és konfigurációk voltak polulyarizirovany 1932 Hilbert és Cohn-Vossen a könyvben Anschauliche Geometrie (geometria és), amely lefordították angol és orosz nyelven.
Konfigurációk lehet tanulmányozni akár a konkrét pontok és vonalak egy adott geometria, mint az euklideszi vagy projektív sík (ebben az esetben az egyik beszél, a végrehajtás geometria), vagy mint egy absztrakt geometriai előfordulása. Az utóbbi esetben, a konfigurációs szoros kapcsolatban rendszeres hipergráfokra és biregular honlapján [> https: ╱╱en.wikipedia.org╱wiki╱Morphism_of_algebraic_varieties [en] páros gráfban. de a további megszorítás - bármely két pont beesési szerkezetek társítható legnagyobb egyszeri tétel, és bármely két vonal társítható egyetlen maximális pontot. Azaz, a kerülete a megfelelő páros gráf (gráf Levy konfiguráció) egyenlőnek kell lennie legalább hat.
elnevezések
A síkban lévő konfigurációt (pγℓπ) jelöli, ahol p a pontok száma, ℓ a vonalak száma, γ az egyes pontokon áthaladó vonalak száma, π pedig az egyes sorokban lévő pontok száma. Ezeket a számokat, kapcsolatot
mivel ez a termék egyenlő a pont-on-line incidensek számával (zászlók).
Az azonos szimbólummal rendelkező konfigurációk nem feltétlenül izomorfak, mint előfordulási minták. Például három különböző konfiguráció van (9 3 9 3) - a Papp konfiguráció és két kevésbé ismert konfiguráció.
Bizonyos konfigurációkban p = ℓ és ezért γ = π. Ezeket szimmetrikus vagy kiegyensúlyozott konfigurációknak nevezik, és általában a jelölésben az ismétlést el kell hagyni. Például (9 3 9 3) csökken (9 3).
A konfiguráció (10 3), amely nem izomorf a Desargues-konfiguráció előfordulásával kapcsolatban
A következő projektív konfigurációk ismertek legjobban:
A konfigurációk kettősége
A (pγlπ) projektív kettős konfiguráció egy konfiguráció (lπpγ), amelyben a "pontok" és a "sorok" szerepét egymással kicserélik. Ezért a konfigurációk kettős párok, kivéve, ha a kettős konfiguráció izomorf az eredeti változathoz képest. Ezeket a kivételeket önkommunális konfigurációnak nevezzük, és ebben az esetben p = l.
A konfigurációk száma (n3)
A (n3) típusú nem-inomorf konfigurációk száma, n = 7-gyel kezdve, a szekvencia eleme
Ezek a számok absztrakt előfordulási mintáknak számítanak, tekintet nélkül a megvalósításuk lehetőségére. Mint Gropp írja. a tíz konfiguráció közül kilenc (10 3) és az összes konfiguráció (11 3) és (12 3) megvalósítható euklideszi térben, de minden n ≥ 16 esetében legalább egy megvalósíthatatlan konfiguráció (n3) van. Gropp rámutat egy hosszú idejű hibára is ebben a sorrendben - egy 1895-ös cikkében megpróbálták felsorolni az összes konfigurációt (12 3) és 228-at találtak, de a 229. konfigurációt 1988-ig nem nyitották meg.
Szimmetrikus konfigurációk kialakítása
Számos módszer létezik a konfigurációk megalkotására, általában a már ismert konfigurációktól kezdve. Ezek közül a módszerek közül a legegyszerűbbek szimmetrikus (pγ) konfigurációt hoznak létre.
Az n sorrendű véges projektív sík konfigurációja ((n 2 + n + 1) n + 1). Legyen Π egy projektív tervezési sík n. Eltávolítjuk a P pontot az Π-ből és a P-en átmenő összes vonalat (de nem a ponton fekvő pontokat, kivéve a P pontot), és eltávolítjuk az l vonalat. nem áthaladva a P. és az összes ponton fekszik ezen a vonalon. Ennek eredményeként létrejöhet a ((n 2 - 1) n) típusú konfiguráció. Ha az l vonalat választjuk az építményben. a P-n áthaladva a ((n 2) n) típusú konfigurációt kapjuk. Mivel ismeretes, hogy minden n. Sorrendben léteznek projektív síkok. amelyek primitívek, ezek a konstrukciók végtelen számú szimmetrikus konfigurációval rendelkeznek.
Nem minden konfiguráció megvalósítható, például a konfiguráció (43 7) nem létezik. Azonban a csoportok olyan konstrukciót adtak, amely azt mutatja, hogy k ≥ 3 esetén minden p ≥ 2 lk + 1 konfiguráció (pk) létezik, ahol lk az optimális Golomb sorrendje k hosszúsága.
Nagy dimenzió
A konfiguráció koncepciója általánosítható a nagyobb dimenziókra, például pontokra, vonalakra vagy síkokra. Ebben az esetben gyengíthetjük azt a korlátozást, hogy két pont egyetlen vonalon ne feküdhet, mivel két pont egynél több síkhoz tartozhat.
A háromdimenziós térben,
- Mobius konfiguráció. két egymásba írt tetraéderből áll
- Reye konfiguráció. amely tizenkét pontból és tizenkét síkból áll, hat ponttal minden síkon és hat síkon, amelyek minden ponton áthaladnak
- Szürke konfiguráció. amely 27 rácspontból áll, 3 × 3 × 3 és 27 ortogonális vonalból
- A dupla hat Shlefli. 30 pontból és 12 egyenesből, két egyenes egy pontból és öt pontból egy egyenes vonalból áll.
További dimenziót nyerünk háromdimenziós térben, amikor figyelembe vesszük a pontok, vonalak és síkok előfordulását, vagyis a j-szóközöket 0 ≤ j <3, где каждое j -пространство инцидентно N jkk -пространствам ( j ≠ k ). Если обозначить через N jj число j -пространств, такую конфигурацию можно представить в виде матрицы :
A megközelítés általánosítható más n. ahol 0 ≤ j jegyzetek
irodalom
Kapcsolódó cikkek