Példák a matroidokra
Ellenőrizzük a függetlenség axiómáinak teljesítését:
- Egy üres készlet aciklikus, és így belép.
- Nyilvánvaló, hogy az erdő bármely metszete szintén erdő, ezért acyclicity miatt belép.
- Az oszlopon legalább két komponensből a kapcsolat, vagy lenne egy feszítőfa, és nem lenne gyűrűs készletek több energiát. Beengedni, nincs összekötő él két különböző összetevői a kapcsolat, az azt jelenti, bármely komponensének kapcsolat az egész csúcs-része minden összetevője. A csúcsok és élek összekapcsolásának bármely elemét tekintjük. Most tekintsünk minden összetevője a kapcsolat, vertex-belépő, hagyja, hogy a darab, míg a teljes élek számát az azonos, amely nem haladja meg (az élek számát in). Összegezzük az összes kapcsolódó komponens egyenlőtlenségét a beszerzéstől és a beszerzéstől, ami ellentmond a feltételezésnek. Ez azt jelenti, hogy a feltevés nem igaz, és létezik egy szükséges él a különböző csatlakoztatott komponensektől.
[szerkesztés] Matrix Matroid
Legyen egy vektortér egy szilárd felett, hagyja, hogy a vektorok halmaza a térben támogatást kapjon. Az adott matroid független csoportjának elemei a gyűjteményből származó lineárisan független vektorok készletei. Ezután az úgynevezett matrix matroid (angol vektor matroid)
A grafikon előfordulási mátrixát képezzük. A mátrix sorai megfelelnek a grafikon csúcsainak és az oszlopok széleinek.
- Ha a -végi széle egy hurok, amely a második csúcsra esik, akkor.
- Ha a -végi csúcs a "-szélen" történik, akkor
- egyébként
Be kell bizonyítanunk, hogy ha vesszük a élek halmaza, a beállított oszlopok mátrix esetén megfelel a kiválasztott él, lineárisan független, és fordítva, ha vesszük lineárisan független oszlopainak a megfelelő élek halmaza, nem alkotnak ciklust. Belátjuk egyenértékű állítást: az oszlopok lineárisan függ akkor, ha a megfelelő élek a gráf tartalmaz egy ciklust.
Hagyja az oszlopok lineáris függését, bizonyítjuk, hogy a grafikon megfelelő élei tartalmaznak egy ciklust.
Ha a mátrix egyes oszlopai lineárisan függenek egymástól, akkor közülük kiválaszthatók oszlopok nulla összeggel. Két lehetőség közül választhat:
- A kiválasztott oszlopok közül nulla, majd a megfelelő szélekben van egy hurok, azaz egy ciklus.
- Van egy oszlopunk, amely a fennmaradó oszlopok összege. Ez az él egy élnek felel meg. Kezdjük a felső bekapcsolni a többi éle (minden él végigvezetik csak egyszer), végül megérkezik a tetején, így a maradék csúcsok szükségképpen páros számú feltörekvő szélük, mert különben ezen felül az oszlop olyan volt lenne egység (és csak egységek vannak pozíciókban és). Így kimutatták, hogy kétféle módon között a csúcsok és a (amit mi építettünk és az út széle mentén), akkor a kiválasztott élek halmaza egy ciklust.
Tegyük fel, hogy van egy ciklus az élek készletén, és megmutatjuk a megfelelő oszlopok lineáris függőségét.
Ha, többek között a bordák sokasága van egy hurok, akkor a megfelelő oszlopban nulla lesz (az építési mátrix esetén), és ez biztosítja a lineáris függését teljes készlet vektorok.
Ha nincs hurok, vegye figyelembe az egyszerű ciklus éleinek megfelelő oszlopokat. A mátrix bármely sorában pontosan 2 egység van ebben az oszlopban. Ezért a feltüntetett oszlopok összege modulo egyenlő a nulla oszlopgal, ami azt jelenti, hogy az oszlopok eredeti oszlopának lineáris függősége van.