Előadás 1
Kvadratikus formák és azok kapcsolata a szimmetrikus mátrixokhoz. Sajátvektorok sajátosságai és szimmetrikus mátrix sajátértékek. A kvadratikus forma redukálása a kanonikus alakra.
Definíció 10.1 Az x1. X2, ..., xn valós változók kvadratikus formája egy második fokú polinom, amely nem tartalmaz szabad terminust és első fokú feltételeket.
Négyzetes alakok példái:
Emlékezzünk a szimmetrikus mátrix definíciójára az utolsó előadásban:
Definíció 10.2. A négyzetmátrix szimmetrikus. if. azaz ha a mátrix elemei szimmetrikusak a fő átlóhoz képest.
Szimmetrikus mátrix sajátértékek és sajátvektorok tulajdonságai:
1) A szimmetrikus mátrix minden sajátértéke valós.
Bizonyítás (n = 2).
Tegyük fel, hogy A alakja :. Fogalmazzuk meg a jellemző egyenletet:
(10.2) Nézzük meg a diszkriminanst:
következésképpen az egyenletnek csak valódi gyökerei vannak.
2) A szimmetrikus mátrix sajátvektorai ortogonálisak.
Bizonyítás (n = 2).
A sajátvektorok koordinátái és kielégítik az egyenleteket:
Ezért a következőképpen definiálhatóak:
. E vektorok skaláris terméke a következő alakú:
Viete tétele alapján, a (10.2) egyenletből megkapjuk, hogy ezeket a kapcsolatokat a korábbi egyenletbe tesszük: Így.
Megjegyzés. A 9. fejezetben megfogalmazott példában a szimmetrikus mátrix sajátvektorát találtuk, és figyelmet szenteltünk arra a tényre, hogy páros ortogonálisnak bizonyultak.
Definíció 10.3 A négyzetes alak (10.1) mátrixa szimmetrikus mátrix. (10.3)
Így a kvadratikus alak mátrixának minden sajátértéke valós, és minden sajátvektor ortogonális. Ha mindegyik sajátérték különbözik, akkor a három mátrixból (10.3.) Normalizált sajátvektorokból három dimenziós térben alapulhat. Ennek alapján a négyzetes formának olyan speciális formája lesz, amely nem tartalmazza a változók termékeit.
A kvadratikus forma redukálása a kanonikus alakra.
Definíció 10.4 Az alábbi alakot a kvadratikus forma kanonikus alakjának (10.1) nevezik:. (10.4)
Mutassuk meg, hogy a sajátvektorok alapján a kvadratikus forma (10.1) veszi a kanonikus formát. enged
- normalizált sajátvektorok, amelyek megfelelnek a sajátértékeknek # 955; 1, # 955; (10.3) az ortonormális alapon. Ezután a mátrix a régi bázisról az újra való átmenet mátrixa lesz
. Új alapon az A mátrix az átlós formát (9.7) veszi át (sajátvektorok tulajdonsága révén). Így a koordináták képletekkel történő átalakításával:
az új alapon megszerzük egy kvadratikus forma kanonikus formáját, amelynek sajátértékekkel egyenlő koefficiensei vannak # 955; 1, # 955; # 955;
Megjegyzések 1. A geometriai szempontból a koordináta-transzformáció a koordináta-rendszer forgása, amely ötvözi a régi koordináta tengelyeket az újakkal.
2. megjegyzés: Ha bármely sajátértékei (10.3) azonosak a megfelelő ortonormális sajátvektorok felvehet egy egységvektor merőleges mindegyikük, és így épít egy alapot, amelyben a kvadratikus alak veszi a kanonikus formában.
A kvadratikus formát a kanonikus alakra redukáljuk
Mátrixának van formája A 9. fejezetben vizsgált példában a mátrix sajátértékek és ortonormális sajátvektorai találhatók:
Az átmeneti mátrixot ezen vektorok alapján hozzuk létre:
(a vektorok sorrendjét úgy változtatjuk meg, hogy azok a három jobb alakot képezzék). A koordinátákat képletekkel transzformáljuk.
Így a kvadratikus alak a kanonikus alakra redukálódik, a négyzetes alak mátrixának sajátértékével megegyező koefficiensekkel.