Vektorelemzés elemei - tanfolyammunka
II. Fejezet. Mezőelmélet
§1. A TERÜLET ELMÉLETÉNEK ALAPVETŐ KONCEPCIÓI
A térelmélet egy nagy rész, a fizika, a mechanika, a matematika, amelyben a skalár, a vektor, a tenzor mezőket tanulmányozzák.
A fizika, az elektrotechnika, a matematika, a mechanika és más technikai tudományok számos problémája a skalár- és vektorterületek vizsgálatához vezet.
Egy mező egy tér V területe, amelynek minden egyes pontján meghatározott érték határozza meg. Ha minden egyes pontja M a régió megfelel egy bizonyos számú U = U (M), azt mondta, hogy a meghatározott terület skalármező set (vagy jellemző pontok). Más szóval, egy skaláris mező egy skálerfüggvény U (M) a definíciós tartományával együtt. Ha minden pont M vektortér megfelel egy bizonyos, akkor azt mondjuk, hogy a vektor mező értéke (vagy vektor pont funkció).
A skaláris mezők példái lehetnek a hőmérsékleti területek, a légköri nyomás, a sűrűség, az elektromos potenciál stb. Példák a vektor mezőkre: a gravitációs mező, a folyadék (szél) részecskék sebességmezője, a mágneses mező, az elektromos áramsűrűség mező stb.
Ha az U (M) () függvény nem függ az időtől, akkor a skalár (vektor) mezőt állandónak nevezik; Az időben változó mezőt nem állomásnak nevezik.
Az alábbiakban csak helyhez kötött területeket vizsgálunk.
Ha V egy háromdimenziós tér régiója, akkor az U skaláris mező három, x, y, z (az M pont koordinátáinak) függvényeként tekinthető:
Ha az U (M) skaláris függvény csak két változótól függ, például x és y. a megfelelő skaláris mezőt U (x; y) síknak nevezzük.
Hasonlóképpen: a vektor három x, y és z skalár argumentum vektorfüggvényének tekinthető. vagy. A vektor a formában ábrázolható
ahol P (x; y; z), Q (x; y; z), R (x; y; z) - a vetülete a vektor a koordinátatengelyeken. Ha a kiválasztott koordináta-rendszer Oxyz egyik nyúlványok a vektor egyenlő 0, és a másik két, csak attól függ két változó, a vektor mező azt mondják, hogy lapos.
A vektor mezeje homogén. ha állandó vektor (P, Q, R állandók).
2. §. SCALAR FIELD
Adjuk meg az U = f (M) = f (x; y; z) skaláris stacionárius mezőt. ahol az f (x; y; z) függvény mindig feltételezhetően folyamatosan differenciálható a vizsgált régióban.
A skaláris mező vizsgálatának fő kérdése az, hogy megváltoztatjuk az U függvényt, miután áttérünk a tér egyik pontjáról a másikra. A kérdés tisztázása érdekében először is fontold meg azon pontok helyét, ahol az U értéke állandó értékű marad. Ezt lókusz nevezik skalármező vízszintes felületen U. egyenletét a választott koordinátarendszerben adja: U (x; y; z) = C, ahol C = const. Ezért, a változó értéke C, megkapjuk a család szintjén felületek elfoglalja a teljes területet, ahol a meghatározott terület, és nincs két felületi szinten, megfelelő különböző értékeinek C, nincs közös pont.
Az összes síkfelület beállítása a megfelelő C értékekkel megegyezik a mező beállításával. Ez a mezőmező különösen kényelmes, ha két tartománybeli D síkban definiált mezővel foglalkozunk. Ebben az esetben, az egyenlet U (x, y) = C definiálja, általában egy görbe vonal, az úgynevezett vonal szintű lapos skaláris mező.
Ilyen vonalak a különböző skalártér jól ismert: a vonalak azonos magasságú (vízszintes) képméret alkalmas terepen, egyenlő vonal hőmérséklete (izoterma) vagy vonalak egyenlő nyomás (izobár) meteorológiai, stb ..
A skaláris mezőszármazék az irányba
A skaláris függvény deriváltja U = f (x;, y; z) a vektor iránya mentén
Ezért jellemzi az U érték változását az M0 ponton a vektor irányában.
Nyilvánvaló, hogy az U függvény végtelen számú származékot tartalmaz mindegyik M pont irányában. Elértük az irányszármazék számításának képletét. mert
Ezt a funkciót jelöljük