Előnyös kapcsolat
A fogyasztó bizonyos árukészletének megválasztása részben az ízlésétől függ. Ezeket gyengébb preferencia attitűd, vagy gyenge preferencia jellemzi: "előnyben részesítendő" vagy "ekvivalens", amelyet tovább "" jellemez.
ahol x és y árukészletek (C helyek pontjai), azt jelenti, hogy a szóban forgó fogyasztó előnyben részesíti az x beállítást a beállított y értékkel. vagy nem tesz különbséget közöttük: x legalább olyan jó, mint u.
Most definiáljuk az indifferencia fogalmát. Az x és y árukészletek közömbösek a fogyasztóval szemben (x
y) ha és csak akkor, ha mindegyik előnyös vagy közömbös a másikhoz,
y ha és csak akkor, ha xy és y x (2.3)
A fogyasztó előnyben részesíti az x értéket egy y (x y) értékre, ha és csak akkor, ha x előnyös vagy y-vel szemben, y pedig nem előnyös vagy közömbös x:
x y. ha és csak akkor, ha xy, és a yx kapcsolat hamis (2.4)
Az áruk térben való arányát tökéletesnek nevezik. ha az X és y árucikkek bármelyikéből C-től származik:
A kapcsolat (2.5) azt jelenti, hogy nincs olyan "rés" a C-ben, amelyben a preferenciák nem léteznek.
Az összefüggés tranzitív (félig rendezett), ha bármelyik három, x, y és z csoportból C-ból származik, akkor a következő feltétel érvényes:
Az összefüggést reflexívnek nevezik. ha x.
Az arányt szimmetrikusnak nevezik. ha xy jelentése yx.
Tekintsünk két alapvető axiómát a preferencia gyenge kapcsolatáról.
Axióma 1. A gyenge preferencia kapcsolat az árucikkek térének tökéletes félig rendelése.
Az axióma azt állítja, hogy tetszőleges x és y esetén a (2.5), (2.6) képlet érvényes. Az 1. axiómából az egyenértékűségi viszonyok következő tulajdonságait nyerhetjük. Ez az arány:
· Tranzitív: ha x
x (bármely árukészlet önmagával egyenértékű)
A közömbösség kapcsolata osztja a C áruk térét egyenértékűségi osztályokba, amelyeket közömbösség-készleteknek neveznek, amelyek mindegyike az adott x-re nézve közömbös összes gyűjteményből áll.
A fentiek az alábbiak szerint írhatók fel: az áruk közömbössége x:
Bevezetjük az előnyben részesített és a nem előnyben részesített készletek fogalmát.
Egy előnyös készlet olyan készletekből álló készlet, amelyek előnyösek vagy közömbösek az adott x készlethez.
Az irreleváns készlet egy olyan készlet, amely olyan árukészletekből áll, amelyeknél x előnyös vagy közömbös:
Axióma 2. A preferencia gyenge attitűdje folyamatosan.
A 2. axióma szerint a preferencia összefüggés folyamatos, azaz. Az előnyös halmazok és a nem előnyben részesített halmazok zárt csoportok a C térben. tartalmazzák határpontjukat. és
A (2.10) képlet a preferenciarendszer és a nem preferenciák csoportjának metszéspontját jelenti.
A tökéletes félfolyamat és folytonosság két alapvető axiómájából következik, hogy az x termékvektor folyamatos funkciója van. amit jelöltünk. A függvényt segédprogramnak nevezik. Ő számára igazságos:
u (x) u (y). Csak akkor, ha (2.11)
Feltételezzük, hogy u (x) differenciálható, és az u (x) gradiens pozitív:
A (2.12) reláció azt jelenti, hogy minden részleges származék, i =, i. az áruk számának növekedésével a segédfunkció növekszik.
A részleges származékokat ,, marginális "segédeszközöknek nevezzük.
Ezután tekintse át a szigorú konvexitás axiómáját. Legyen x és y különálló termékkészlet C-ben
A (2.8) és (2.13)
Az 1. ábrán. A 2.1 számos olyan preferenciát mutat be, amelyek kielégítik ezt az axiótot n = 1, 2 esetében.
2.1 ábra. Az 1. pontot a kifejezés, a 2. pont a kifejezéssel határozza meg
A 2.1. Ábrán egy sor határa egy közömbösség, amely egy közömbösségi görbe. Amint az a 2.1 ábrából látható, a készlet szigorúan konvex. Ezután be lehet mutatni, hogy a készlet
Konvex is valódi a.
Vegyük például a 3. ábrát. 2.2. Megmutatja (árutér - egydimenziós) beállítást, amely a numerikus tengely árnyékolt része (a -ax tengely). A 2.2 ábrán látható, hogy a készlet konvex bármely a-hoz.
A kétdimenziós esetben a készlet formájának illusztrálására (az áruteret dimenziójára) szükségünk van egy olyan egyenlő szintû függvénysor fogalmára, amelynek egynél több változója van.
Ezt a funkciót a koordináta síkjával párhuzamos síkokkal bonthatjuk le. A függvény metszésvonalát a síkokra a koordináta síkjára vetítjük le, lásd az 1. ábrát. 2.2.
Ezeket az előrejelzéseket azonos szintű vonalak találják. Mindegyik ilyen vonalon a segédprogram funkció értéke megegyezik. Az 1. ábrán. A 2.3. Ábra mutatja az értékek görbéit.
Az indifferencia görbe egyenlő szintvonal a funkcióhoz. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy ahol az érték szerepel a képletben (2.14). A szigorú konvexitás tulajdonában a következő egyenlőtlenségek vannak. A készlet a 2. ábrán árnyékolt. 2.3. területet. Amint látja, ez a terület konvex.
Tegyük fel, hogy a kétszer folyamatosan differenciálható függvény és a második származékainak mátrixa (Hesse-mátrix) negatív definíció. Ez azt jelenti, hogy minden nem nulla-dimenziós vektor esetében a következő egyenlőtlenség áll :. A negatív meghatározott mátrixot gyakran a következőképpen jelöljük:. A mi esetünkben a Hesse-mátrixnak a következő formája van:
A H mátrix szimmetrikus. A H mátrix negatív definíciója a feltételhez (2.14) együtt jár. ez a szigorúan konkáv függvény. Ebből következik, hogy a fő átlón lévő elemek negatívak, azaz
A (2.15) bekezdésből következik, hogy az első származékos termék, a marginális hasznosság változása negatív. Így a (2.15) képlet azt jelenti, hogy bármely áru marginális hasznossága csökken, ahogy fogyasztják. Az a feltevés, hogy a mátrix negatív definite, ami azt jelenti (2.15), a Gossen-törvénynek nevezzük.
Példák segédfunkciókra.
ahol - az átültetett vektor, - az adott értékek.
2) Logaritmikus (Bernoulli):
ahol értékeket adtak.
3) állandó rugalmasság:
,> 0, 0 <<1,>> 0,.